§ 3. Приведенные области собственно разрывных подгрупп

Определение 3. Область составляющая часть круга называется приведенной областью собственно разрывной подгруппы группы -движений, если всякая точка круга имеет внутри или на границе точку, гомологичную себе относительно подгруппы но область не содержит ни одной пары точек, гомологичных друг другу относительно подгруппы

Заметим, что обычно признается удобным присоединять к области части ее границы (в том числе части абсолюта, примыкающие к для того, чтобы множество содержало гомологи (по отношению к подгруппе всех обыкновенных точек замкнутого круга

Поскольку каждая точка круга имеет (относительно подгруппы состоящей из счетного множества -движений) бесконечное множество различных гомологов, существует большой произвол в образовании приведенных областей. Ниже излагается один из возможных способов построения приведенной области собственно разрывной подгруппы группы -движений.

Теорема 5. Если в области (составляющей часть круга нет пар гомологичных друг другу точек относительно подгруппы то области и различные -движения, принадлежащие к подгруппе не пересекаются.

Действительно, если бы оказалось, что у областей и есть общая точка то где Тогда и или точки и гомологичны друг другу относительно (что исключено), или -движения одинаково перемещают точку Последнее означает, что функции (3.1), представляющие Л-дви-жения равны между собой в точке такое же заключение должно быть сделано для всех точек общей части областей и Отсюда следует, что -движения тождественны всюду, что исключено нашим предположением. Мы должны отбросить сделанное допущение и признать объявленную теорему доказанной.

Из определения приведенной области следует, что она всегда удовлетворяет условиям теоремы 5 и поэтому обладает указанным в ней свойством.

Рассмотрим некоторую собственно разрывную подгруппу группы -движений и какую-то точку круга отличную от неподвижных точек -движений Пусть различные гомологи точки относительно подгруппы перенумерованные так, что Обозначим символом -движение, входящее в состав подгруппы и переводящее точку в точку В силу теоремы 3

(если подгруппа бесконечна). Обозначим через множество точек С круга для которых меньше величин при

Мы покажем, что верна следующая теорема: Теорема приведенная область собственно разрывной подгруппы группы -движений.

Доказательство. Прежде всего очевидно, что точечное множество является открытым множеством. Принадлежность точки С к этому множеству означает, что ни на -окруж-ности с -центром в точке С, проходящей через точку ни внутри нее нет точек Тогда согласно теореме 3 можно окружить эту -окружность другой, тоже с -дентром в точке но несколько большего -радиуса так, что и кольцо между ними будет свободно от точек Отсюда следует, что и все точки некоторой окрестности точки С принадлежат к множеству

Обозначим через множество тех точек С круга для которых меньше величин при Тогда множество состоит из точек, общих всем Для каждой точки С (где Для мы выделим из точек те точки для которых имеет наименьшее значение. Такие точки всегда существуют; их может оказаться несколько, но благодаря теореме 3 их число всегда конечно. Тогда каждая точка оказывается внутренней или граничной точкой множества (внутренней, если точка единственна, и граничной, если точек несколько). Итак, показано, что все точки круга имеют гомологи (относительно подгруппы среди внутренних или граничных точек открытого множества

Теперь покажем, что множество не содержит пар гомологичных друг другу точек (относительно подгруппы Действительно, если то согласно определению множества

где Применяя к точкам, аффиксы которых в неравенство (3.25), -движение мы найдем, что

Неравенство (3.26) находится в противоречии с тем, что благодаря принадлежности точки множеству для всех

Нам остается показать, что открытое множество является областью. Рассмотрим линии, из которых состоят границы открытого множества Как мы видели, на них

В конце § 4 предыдущей главы мы установили, что подобная линия является -прямой, перпендикулярной к отрезку -прямой, соединяющему точки Точка, пересечения этого отрезка с -прямой у делит его -длину пополам. Рассмотрим -прямую Она делит круг на две части. Та из них, которая содержит является областью Затем рассмотрим -прямую Если она проходит вне области то в противном случае она разделяет область на две части; та из них, в которой лежит точка оказывается областью Продолжая таким образом, мы получим в качестве открытого множества -выпуклую (см. § 5 главы И) область, ограниченную конечным или счетным множеством отрезков -прямых (3.28) и, возможно, отрезками абсолюта. Этим теорема 6 полностью доказана.

Мы будем называть -выпуклую область, ограниченную конечным или счетным числом отрезков -прямых и (возможно) абсолюта, многоугольником Лобачевского, кратко -многоугольником. Мы показали, что построенная нами приведенная область является -многоугольником. Этот Л-многоугольник может быть ограничен счетным числом отрезков -прямых и абсолюта, однако во всяком круге лежит только конечное число этих отрезков. Отметим, что в наиболее важных приложениях приходится рассматривать собственно разрывные подгруппы группы -движений с приведенной областью ограниченной конечным числом подобных отрезков.

Рассматривая -многоугольники мы получим, самое большее, счетное множество -конгруент-ных -многоугольников, покрывающих (вместе со своими границами) круг без перекрытий (обычно говорят «однолистно») и без пустот. При этом каждый из -многоугольников обладает по отношению к точке теми же свойствами, что -многоугольник отношению к точке он тоже является приведенной областью подгруппы

Условимся называть отрезки -прямых

входящие в состав границы -многоугольников его сторонами 1-го рода, а входящие в состав этой границы отрезки абсолюта — его сторонами 2-го рода (ниже будет указано некоторое отступление от этого правила).

Точки границы -многоугольника находящиеся на одинаковом (конечном) -расстоянии более чем от двух точек (в том числе и от точки являются точками соединения его сторон 1-го рода. Мы будем называть эти точки вершинами 1-го рода -многоугольника Точки соединения сторон 1-го и 2-го рода -многоугольника или точки соединения его сторон 1-го рода, лежащие на абсолюте, мы будем называть его вершинами 2-го рода.