§ 7. Треугольники Лобачевского

Мы обратимся, прежде всего, к вычислению площади -треугольника в инвариантной метрике. Площадь некоторой области в метрике

как известно, находится по формуле

Поэтому в случае метрики (2.3) для верхней полуплоскости

Здесь предполагается, что в точках всегда (если при то интеграл (2.46) следует понимать как несобственный). Величину 5 мы будем далее называть площадью Лобачевского, кратко -площадью области Очевидно, что величина 5 может иметь только положительные значения.

Рис. 13.

Каков бы ни был данный -треугольник мы можем соответствующим -движением совместить одну из его сторон с положительной полуосью у. Предположим для определенности, что после этого -движения рассматриваемый -треугольник расположится так, как это показано на рис. 13. Пусть аффиксы его вершин (у нас соответствующие внутренние углы.

Допустим далее, что

— уравнение -прямой проходящей через точки а

— уравнение -прямой проходящей через точки Здесь абсциссы центров окружностей, часть которых составляют и их радиусы.

Подсчет интеграла (2.46) дает, что

Из чертежа непосредственно видно (см. рис. 13), что в рассматриваемом случае

Итак,

Тот же самый результат получается и при других расположениях вершин -треугольника Мы оставляем читателю вывод формулы (2.51) для этих случаев.

Таким образом, нами доказана следующая теорема: Теорема 8. Если внутренние углы -треугольника, то его -площадъ равна

Отметим важное следствие из этой теоремы. Так как Л-пло-щадь — заведомо положительная величина (мы исключаем из рассмотрения случаи вырождения), то

т. е. во всяком -треугольнике сумма внутренних углов меньше Отсюда далее следует, что у нас сумма двух внутренних углов -треугольника (и тем более каждый из них) меньше внешнего угла -треугольника, не смежного с ним.

Величина называется угловым дефектом -треугольника (иногда ради краткости просто «дефектом -треугольника А»). Как видно из теоремы 8, с увеличением углового дефекта -площадь Л-треугольника возрастает. Когда стремятся к нулю, угловой дефект -треугольника стремится к а -площадь — к у. Все -треугольники имеют площадь, меньшую чем .

Легко видеть, что при приближении углов к нулю -прямые, являющиеся сторонами -треугольника, стремятся стать -параллельными друг другу; вершины Л-тре-угольника в пределе обращаются в их концевые точки. Возникающую таким образом фигуру мы будем называть предельным -треугольником.

Рис. 14.

Рис. 15.

Предельный -треугольник для верхней полуплоскости изображен на рис. 14, а для круга на рис. 15. Из предыдущего следует, что -площади всех предельных -треугольников (в метрике, построенной для соответствующей области) равны

В качестве следствия теоремы 8 можно получись еще следующее интересное предложение:

Теорема 9. -треугольники, имеющие равные углы, -конгруентны.

Доказательство этой теоремы удобнее вести для случай круга Пусть углы данных -треуголь ников. Прежде всего мы переместим данные нам -треугольники соответствующими -движениями так, чтобы их вершины, соответствующие углу попали в точку а вершины, отвечающие углу на положительную действительную полуось. Тогда стороны этих -треугольников, выходящие из точки все совместятся с какими-то радиусами круга Если после этого наши -треугольники окажутся лежащими по разные стороны от действительной оси, мы заменим один из них симметричным (относительно действительной оси) -треугольни-ком. Таким образом, данные -треугольники займут положения указанные на рис. 16. Благодаря тому, что имеют в силу теоремы 8 одинаковую -площадь (которая является аддитивной функцией области и всегда положительна), стороны и должны пересечься внутри угла (как это и указано на рис. 16). Пусть точка пересечения этих сторон. Тогда внутренний угол треугольника в вершине В и его внешний угол в вершине В должны равняться друг другу (так же, как внутренний угол треугольника в вершине С и его внешний угол в вершине С). Это невозможно, и поэтому точка В должна совпасть с точкой В точка С — с точкой С. Наша теорема доказана.

Рис. 16.

Таким образом, подобные -треугольники (т. е. имеющие одинаковые углы) всегда конгруентны.