§ 1. Гауссова кривизна

Мы предполагаем известным читателю, что гауссова кривизна геометрии, определяемой в некоторой области формой вида

может быть вычислена по формуле

Здесь В случае метрики Поэтому

В случае метрики Тогда

Таким образом, нами доказана следующая теорема:

Теорема 1. Гауссова кривизна инвариантной геометрии, определяемой с помощью метрики (2.1) в односвязной области постоянна и равна

Итак, благодаря множителю — в формуле (2.1) наша инвариантная геометрия имеет произвольно заданную отрицательную кривизну В этом и состоял смысл замены метрики (1.57) метрикой (2.1).

Уже на основании этой теоремы можно было бы показать, что инвариантная геометрия, определяемая формой (2.1) в односвязной области в пределах достаточно малой окрестности каждой точки этой области, сводится к плоской геометрии Лобачевского. В действительности инвариантная геометрия, определяемая формой (2.1) в односвязной области, сводится к плоской геометрии Лобачевского не только в достаточно малых окрестностях точек области, но и в делом, во всей области. Содержание этого последнего утверждения состоит в следующем.

Будем далее называть (имея в виду связь с геометрией Лобачевского) геодезические линии инвариантной геометрии в односвязной области -прямыми, длины линий, площади областей, вычисленные по правилам этой геометрии, соответственно -длинами, -площадями и т. д. Отметим, что для измерений нет надобности вводить термин -угол», так как величины углов в инвариантной метрике (2.1) (для любой области) совпадают с величинами углов в евклидовой геометрии, обычным образом установленной во всей плоскости комплексного переменного

В инвариантной геометрии, определяемой в односвязной области имеют определенное содержание высказывания «точка лежит на -прямой (иначе, -прямая проходит через точку «точка -прямой лежит на ней между ее точками (их смысл тот же, что и в евклидовой геометрии на плоскости понятие -конгру-ентности». Мы установим в ней понятие -параллельности».

После этого оказывается, что для точек -прямых и упомянутых только что их -отношений» друг к другу верны все аксиомы Гильберта, определяющие плоскую геометрию Лобачевского.

В этом и состоит высказанное выше утверждение. Мы будем производить его проверку постепенно, по мере накопления фактов изучаемой геометрии. В следующем параграфе мы убедимся в наличии у объектов рассматриваемой инвариантной геометрии свойств, выражаемых гильбертовыми аксиомами связи и порядка, в § 5 — аксиомами конгруентности и непрерывности, в § 6 — аксиомой параллельности.