§ 2. Кривизна инвариантной геометрии

Двумерное многообразие, определяемое в пространстве переменных уравнением

далее называется аналитической плоскостью. Мы рассмотрим пучок аналитических плоскостей, проходящих через некоторую точку, которую мы ради простоты примем за начало координат (тогда для этих аналитических плоскостей Легко видеть, что каждая плоскость этого пучка единственным образом определяется вектором ей принадлежащим (у нас если контравариантные составляющие этого вектора относительно координат то уравнение плоскости, определяемой этим вектором, имеет вид

Определим в метрике (5.18) риманову кривизну пространства по «двумерному аналитическому направлению» аналитической плоскости), задаваемому вектором и. Она оказывается равной

где величины (составляющие тензора кривизны) определяются равенством

Здесь контравариантные составляющие фундаментального тензора.

Риманова кривизна (5.19) связана с решением одной вариационной задачи, аналогичной той, которая служит для определения ядровой функции области. Обозначим через

наименьшее значение для функций влетворяющих условиям

где некоторая фиксированная точка области Тогда, как показывает непосредственный подсчет,

Отсюда следует, что так как всегда то всегда Итак, нами получена следующая теорема:

Теорема 3. Для определяемой метрической формой (5.18) инвариантной геометрии риманова кривизна всегда меньше двух.

Заметим, что в случае одного переменного может быть получен сходный результат для метрики (2.99). Во второй главе мы указали на эту возможность, хотя ограничились там рассмотрением (гауссовой) кривизны метрики (1.57) и показали (теорема 18), что она всегда отрицательна.

Таким образом, риманова кривизна по двумерным аналитическим направлениям метрики (5.18) внутри области может и не быть отрицательной. Тем более интересно, что вблизи границы области она становится отрицательной во всех случаях, представляющих действительный интерес для теории функций.

В связи с этим прежде всего надо остановиться на следующем весьма важном обстоятельстве. В отличие от случая одного переменного, ядровая функция области не всегда неограниченно возрастает при приближении точки к границе области (хотя бы эта граница и была достаточно гладка). Она может оставаться при этом конечной для областей, не являющихся областями существования аналитических функций. Однако подобные области играют лишь

второстепенную роль в теории функций. Для области регулярности с достаточно гладкой границей доказано, что ее ядровая функция неограниченно возрастает, если точка приближается к граничной точке оставаясь внутри конуса, образованного лучами, выходящими из точки и составляющими с внутренней нормалью к границе угол (здесь Можно показать, что в этом случае

В конце предыдущей главы мы нашли предельное значение (гауссовой) кривизны геометрии, порождаемой формой (1.57), и указали, как следует действовать для определения предельного значения (гауссовой) кривизны геометрии, порождаемой формой (2.99). Вычисления показывают, что получаемый для последнего случая результат сходен с равенством (5.26).

Как известно, гауссова кривизна геометрий (1.57) и (2.99) для односвязной области (теорема 1 главы И) есть постоянная отрицательная величина. В связи с этим отметим, что для инвариантной геометрии (5.18) в четырехмерном шаре Романова кривизна по всем двумерным аналитическим направлениям оказывается равной — 1. Однако уже в случае бицилиндра (5.8) эта кривизна уже не постоянна.

Между тем бицилиндр (5.8) гомеоморфен шару (5.10), т. е. может быть переведен в него взаимно однозначным непрерывным отображением, и в этом смысле является «односвязной» областью. Так как инвариант псевдоконформных отображений, то из сказанного вытекает, что не существует псевдоконформного отображения бицилиндра на шар. Следовательно, в пространстве переменных не всегда можно псевдоконформно отобразить одну односвязную область на другую. Другими словами, основная теорема (Римана) теории конформных отображений не распространяется на случай многих переменных.

Этот факт (в другой связи) был впервые замечен в 1907 г. А. Пуанкаре и послужил толчком к специальному изучению псевдоконформных отображений.