ПРЕДИСЛОВИЕ

За последние годы круг применений неевклидовой геометрии в теории аналитических функций значительно расширился. В настоящее время неевклидова метрика используется во многих разделах теории функций, а в некоторых из них (например, при изучении псевдоконформных отображений, в работах, связанных с леммой Шварца и др.) оказывается одним из основных методов исследования.

При этом метрика Лобачевского, устанавливаемая на плоскости одного комплексного переменного в областях, конформно отображаемых на круг (в случае многих переменных — в областях, отображаемых псевдоконформно на шар соответствующей размерности), играет здесь наиболее важную роль. Обычно все подобные исследования или основаны на ней непосредственно (например, для односвязных областей плоскости одного комплексного переменного), или имеют своим отправным пунктом результаты, получаемые с помощый метрики Лобачевского. Тогда, прежде всего, рассматривается вопрос о том, в какой степени и в каком виде упомянутые результаты распространяются на изучаемый случай.

Настоящая книга посвящена приложениям неевклидовой геометрии к теории конформных и псевдоконформных отображений. Она разделяется на пять глав:

Глава 1 «Введение инвариантной метрики» посвящена установлению метрики, инвариантной при конформных отображениях в произвольной области плоскости комплексного переменного. Основой для этого служат замкнутые системы функций, ортонормированные по площади рассматриваемой области. Такой способ построения инвариантной метрики удобен тем, что позволяет (путем рассмотрения особых вариационных

задан) весьма естественным образом применить эту метрику к получению ряда важных предложений теории функций.

Глава II «Инвариантная метрика в односвязной области» и глава III «Группа движений инвариантной геометрии в односвязной области» посвящены изложению важнейших фактов геометрии, устанавливаемой в односвязных областях плоскости комплексного переменного и инвариантной при конформных отображениях. Получающаяся здесь совокупность геометрических фактов оказывается одним из возможных осуществлений плоской геометрии Лобачевского. Эти главы служат основой дальнейшего изложения.

В главе IV «Некоторые приложения инвариантной метрики к теории конформных отображений» рассматривается инвариантная форма леммы Шварца, ее распространение на орициклы и гиперциклы (теорема Жюлиа) и примыкающие сюда вопросы, относящиеся к поведению величин, связанных с инвариантной метрикой на границе области.

Наконец, глава V «Метрика, инвариантная при псевдоконформных отображениях» указывает пути обобщения рассмотренной теории на случай многих переменных. При этом здесь в центр внимания ставятся области, в которых инвариантная геометрия или имеет постоянную отрицательную кривизну (и благодаря этому оказывается реализацией многомерной геометрии Лобачевского), или но своим свойствам близка к геометрии с подобной кривизной.

Предлагаемое вниманию читателей сочинение не исчерпывает всех приложений неевклидовой метрики к аналитическим функциям. За его пределами, в частности, остаются применения указанной метрики к теории автоморфных функций, где возможность установления внутри односвязной области геометрии Лобачевского играет решающую роль. Значение метрики Лобачевского для названной теории полностью раскрывается в следующем выпуске серии «Геометрия Лобачевского и развитие его идей» — книге Ж. Адамара «Неевклидова геометрия в теории автоморфных функций». Отметим, что главы II и III настоящей книги могут до известной степени служить введением к книге Ж. Адамара.

В заключение остановимся на математической подготовке, необходимой для чтения этой книги. Здесь, прежде всего, ожидается некоторое знакомство читателя с общей теорией

аналитических функций (например, в объеме глав I, II, § 1 главы III, глав IV—VII и §§ 1 и 2 главы XII учебника И. И. Привалова или соответствующей части какой-нибудь из книг — А. И. Маркушевича, В. И. Смирнова, Б. А. Фукса и Б. В. Шабата и т. д.). Кроме того, требуется знание некоторых формул теории поверхностей (их можно найти в I томе книги В. Ф. Кагана «Основы теории поверхностей» или в известном учебнике П. К. Рашевского).

Для главы V необходимы некоторые сведения из тензорного анализа (их можно почерпнуть из другой книги П. К. Рашевского «Введение в риманову геометрию и тензорный анализ»).

Б. Фукс