ГЛАВА I. ВВЕДЕНИЕ ИНВАРИАНТНОЙ МЕТРИКИ

§ 1. Ортонормированные системы функций

Мы начнем с рассмотрения некоторых фактов теории ортогональных функций, составляющих отправной пункт нашего изложения.

Пусть некоторая область плоскости комплексного переменного Мы рассмотрим совокупность регулярных в функций для которых интеграл Лебега

Здесь интеграл (1.1) понимается в случае необходимости как несобственный. Величина далее называется нормой функции в области

Определение 1. Функция называется нормированной в области если

Определение 2. Функции называются ортогональными в области если интеграл Лебега

И здесь интеграл в случае необходимости понимается как несобственный.

Определение 3. Конечное или счетное множество функций называется

ортонормированным в области если

Легко построить примеры ортонормированных систем функций.

Пусть кольцо Рассмотрим в нем последовательность функций Тогда для (мы полагаем и переходим к полярным координатам; внутренний интеграл обращается в нуль)

При мы, действуя аналогично, получим:

Теперь очевидно, что функции

составляют для кольца ортонормированную систему функций.

В качестве других ортонормированных систем мы можем назвать для кольца последовательность тех же функций где в отличие от или последовательность тех же функций где

Если область круг то вычисления, предпринимаемые для получения равенств (1.4) и (1.5), сохраняют свою силу (при этом Поэтому последовательность имеющая теперь вид

оказывается ортонормированной системой и для круга Последовательности в этом случае отпадут, так как не все составляющие их функции будут регулярными в круге

отрицательные степени имеют точку своим полюсом.

Следует еще заметить, что, как следует из (1.4), степени и при ортогональны друг другу в любом кольце или круге Однако в отличие от функций (1.7) они, вообще говоря, не нормированы в этих областях.

Теорема 1. Если ортонормированием система функций в ограниченной области то ряд

сходится равномерно, когда Здесь любая область, составляющая часть области причем

Эта теорема непосредственно вытекает из следующей леммы:

Лемма. Если функция регулярна в замкнутом круге то

Доказательство. Очевидно, что в замкнутом круге функция может быть представлена равномерно сходящимся рядом

Тогда (полагая затем в интеграле получим:

[ограничиваясь только нулевым членом суммы и учитывая, что ].

Заметим, что неравенство (1.9) справедливо и в случае, если функция регулярна только в открытом круге. В последнем случае оно должно быть получено предельным переходом.

Теперь обратимся к доказательству теоремы 1. Пусть точка и замкнутый круг Тогда

В силу нашей леммы последний интеграл больше чем

Заменяя его этим выражением, мы найдем, что

Теперь в силу неравенства Буняковского

Здесь - наименьшее расстояние между границами областей Отсюда следует наше утверждение. Определение 4. Величина

называется ядровой функцией системы функций в области

Из теоремы 1 вытекает

Следствие. аналитическая функция и С для всех