§ 4. Стороны 1-го рода приведенной области

Рассмотрим некоторую сторону 1-го рода -много-угольника и примыкающий к по этой стороне -много-угольник (рис. 31). Мы предполагаем, что по крайней мере одна из точек является внутренней точкой круга

Сторона общая для обоих -многоугольников и определяется уравнением (3.28). -движе-ние (очевидно, что переводит -многоугольник в -многоугольник сторону в некоторую сторону -многоугольника. Мы полагаем Очевидно, что

Рис. 31.

Условимся далее называть стороны -многоугольника соответствующие друг другу при некотором -движении сопряженными между собой. Очевидно, что сопряженные стороны всегда -конгруентны. Стороны и -многоугольника доставляют нам пример пары сопряженных сторон.

Установим на периметре (границе) -многоугольника направление обхода; пусть при обходе -многоугольника в этом направлении он остается слева, а точка предшествует точке Направление обхода области сохраняется при всяком -движении (так как оно является конформным отображением). В частности, установленное нами направление обхода -многоугольника сохранится при переходе к -много-угольнику эти направления обхода -многоугольников и определят на общей стороне противоположные порядки следования ее точек. Таким образом, при обходе -многоугольника в установленном направлении точка В встретится нам прежде точки А (при обходе в принятом направлении -многоугольника точка А предшествует точке В).

Могут ли сопряженные стороны и совпадать между собой?

Если это случится, то или или Вторая возможность должна быть отвергнута, так как ни одно -движение не имеет двух неподвижных точек в замкнутом круге так, чтобы по крайней мере одна из них лежала внутри этого круга. Наоборот, соотношения возможны. Они однозначно определяют -движение являющееся -поворотом на угол вокруг точки стороны делящей -длину этой стороны пополам. Для обеспечения единообразия формулировок причисляют точку если -движение к числу вершин 1-го рода -многоугольника на отрезки -прямой смотрят как на самостоятельные стороны 1-го рода -многоугольника Мы причислим к числу вершин 1-го рода ногоугольников все точки его сторон, аналогичные, в смысле рассмотренного свойства, точке и сообразно с этим видоизменим определение стороны 1-го рода -многоугольника

Теперь для каждой стороны 1-го рода -многоуголь-ника где по крайней мере одна из точек лежит в круге может быть указана другая, отличная от нее, но -конгруентная ей, сопряженная с ней сторона Покажем, что с каждой подобной стороной -многоугольника сопряжена только одна его другая сторона

Допустим, что со стороной кроме стороны (которая переводится в сторону -движением сопряжена с помощью -движения еще другая сторона того же -многоугольника Пусть Тогда -движение должно переводить -многоугольник в себя и не сводиться к тождественному преобразованию, что невозможно.

Наконец, отметим, что все -движения устанавливающие соответствие между сопряженными сторонами -много-угольника различны между собой. Это вытекает из того, что два -выпуклых Л-многоугольника могут соприкасаться друг с другом только по одной стороне.

Итак, нами доказана для сторон 1-го рода -многоуголь-ника которых по крайней мере одна из принадлежащих им вершин не лежит на абсолюте, следующая теорема:

Теорема 7. Стороны 1-го рода приведенного -много-угольника собственно разрывной подгруппы группы Л-дви-жений попарно сопряжены друг с другом. -движения устанавливающие соответствие сторон, входящих в эти пары, все различны между собой. При обходе периметра приведенного -многоугольника гомологичные вершины его сопряженных сторон встречаются на них в противоположных порядках.

В действительности теорема 7 верна для всех сторон 1-го рода -многоугольника в том числе и для тех, у которых обе принадлежащие им вершины лежат на абсолюте. Однако мы не будем здесь этого доказывать.

Разобьем все стороны 1-го рода -многоугольника на сопряженные пары и затем рассмотрим -движения переводящие стороны в сопряженные стороны Тогда -движения будут переводить каждый -многоугольник в смежные с ним -многоугольники (и притом все). Отсюда легко видеть, что, образуя произведения -движений и их (положительных и отрицательных) степеней, мы исчерпаем все -движения, входящие в состав подгруппы Мы оставляем читателю детальное доказательство этого утверждения. -движения называются производящими (иногда фундаментальными) -движениями подгруппы