§ 6. Изменение ядровой функции области при конформных отображениях. Метрика, инвариантная при конформных отображениях

Пусть регулярная в области функция осуществляет взаимно однозначное отображение области плоскости на область О плоскости (именно такое отображение

далее называется конформным). Положим тогда, как известно,

Если функция, регулярная в области О) — отображение, обратное отображению замкнутая ортонормированная система функций в области то

Итак, функции

составляют ортонормированную систему в области Замкнутость этой системы легко следует из замкнутости системы функций в области Действительно, пусть некоторая регулярная, ограниченная по норме функция в области Мы рассмотрим регулярную в области функцию так как то она ограничена по норме в области Поэтому Очевидно, что следовательно,

Итак, система не только ортонормирована, но и замкнута в области Тогда, если точки то

нами доказана следующая теорема:

Теорема 7. Пусть равенство определяет конформное отображение области плоскости на область плоскости обратное отображение осуществляется функцией

Тогда

1) Если замкнутая, ортонормированная система функций в области то функции составляют замкнутую ортонормированную систему в области

2) Между ядровыми функциями областей имеет место соотношение (где — точки области соответствующие им точки области )

Заметим, что выше нами доказано существование замкнутой ортонормированной системы функций (а следовательно, и ядровой функции области) только для ограниченных областей. Равенство (1.54) может служить определением ядровой функции и для неограниченных, однако конечных (т. е. состоящих только из конечных точек) областей, являющихся образами ограниченных областей.

Пример. Как известно, функция отображает взаимно однозначно полуплоскость на круг

Используя формулы (1.46) и (1.54), мы найдем, что

Из равенства (1.54) следует, что

Таким образом, положительная (в силу своего определения во всех точках области квадратичная дифференциальная форма является инвариантом конформных преобразований. Мы примем ее значение за квадрат длины элемента дуги в области Тогда мы получим следующее предложение:

Теорема 8. Положительная дифференциальная квадратичная форма

определяет в области метрику, инвариантную при конформных отображениях.

Примеры. 1) В круге метрика (1.57) благодаря (1.46) определяется равенством

2) В верхней полуплоскости метрика (1.57) в силу (1.55) определится равенством

3) В кольце согласно (1.49) метрика (1.57) определяется равенством

Отметим, что благодаря теореме Римана о возможности конформного отображения круга на любую односвязную область (отличную от полной плоскости или плоскости с исключенной точкой), для такой области можно, исходя из (1.46), построить ядровую функцию, а затем и инвариантную метрику.

Выше мы уже указывали на то, что для (вообще говоря, неограниченной) области, являющейся образом ограниченной области при конформных отображениях, можно определить ядровую функцию. Теперь мы должны распространить этот вывод и на возможность определения инвариантной метрики.

Инвариантность метрики, определяемой формулой (1.57), проявляется, например, в том, что при конформном отображении области на область вычисленные, исходя из формы

длины линий, площади фигур, углы между кривыми в области совпадают с результатами аналогичных измерений их образов в области предпринимаемых там, исходя из формы Равны друг другу значения гауссовых кривизн метрик (1.57) для областей в точках этих областей, соответствующих друг другу при конформном отображении. Геодезические линии этих метрик в областях при конформном отображении переходят друг в друга и т. д.

Для некоторого множества областей, преобразуемых друг в друга с помощью конформных отображений, достаточно изучить метрику (1.57) в одной из них. Таким образом, для совокупности односвязных областей (с невырождающимися границами) достаточно рассмотреть метрику (1.57) в единичном круге или полуплоскости, для совокупности двухсвязных областей (с невырождающимися границами) — в кольцах где

Важное свойство метрики (1.57) связано с измерением углов. Если два вектора в точке то углы между ними, вычисленные в метрике (1.57) и в обычной евклидовой мере, оказываются одинаковыми. Это обусловливается видом формы (1.57): (т. е. тем, что в ней нет члена с и коэффициенты при равны

друг Другу). Мы выразим этот факт в виде следующей теоремы.

Теорема 9. Углы между векторами в инвариантной метрике (1.57) для любой области равны евклидовым углам между теми же направлениями.

Заметим, что из этой теоремы вытекает хорошо известная читателю, сохранность евклидовых углов при отображениях, осуществляемых с помощью аналитических функций.

В заключение настоящего раздела мы укажем на один метод, имеющий далее существенные приложения.

Пусть две области плоскости Тогда, если соответствующие множества функций, регулярных в этих областях и имеющих там конечные нормы, то, наоборот, Поэтому минимальное значение квадратов норм функций (равных единице в точке не больше минимального значения квадратов норм функций (равных единице в той же точке ). Иначе говоря,

Таким образом, мы получаем следующее предложение:

Теорема 10. Если (здесь области плоскости z), то в точках

или

Здесь — элементы дуги в инвариантных метриках, определенных по формуле (1.57) в областях и

Как мы увидим ниже (см. § 1 главы IV), эта теорема содержит в себе классическую лемму Шварца и ее обычные обобщения.

Очевидно, что мы получим аналогичные неравенства, если составим классы допустимых функций из функций подчиненных взамен требования какому-нибудь иному условию такого же типа (например, ).

Легко видеть, что соответствующие минимальные значения выражаются через ядровые функции областей и производные от них. Условия в точке определяющие классы допустимых функций, подбираются так, чтобы получающиеся минимальные значения имели определенный геометрический смысл в метриках (1.57) для этих областей. Таким образом, оказывается возможным сравнивать величины, связанные с инвариантной метрикой в областях В этом и состоит «метод вариационных задач».