ГЛАВА IV. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНВАРИАНТНОЙ МЕТРИКИ К ТЕОРИИ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

Метрика, инвариантная при конформных отображения устанавливаемая в областях плоскости комплексного переменного, исходя из формы (1.57), имеет многочисленные приложения в теории функций. Существенная часть этих приложений связана с автоморфными функциями; мы уже говорили, что в основе их теории лежат свойства собственно разрывных подгрупп группы -движений. Другие приложения основаны на «методе вариационных задач» (см. конец § 5 главы I) и тесно связаны с классической леммой Шварца; именно им и посвящена настоящая глава.

Следует, однако, подчеркнуть, что, кроме того, инвариантная метрика с успехом применяется (наряду, а иногда параллельно с другими средствами) к получению многих оценок, играющих важную роль в теории конформных отображений. Для ознакомления с этими фактами читатель должен обратиться к специальной литературе по теории конформных отображений.

§ 1. Лемма Шварца и ее обобщения

Мы будем исходить из теоремы 10 главы Пусть две области, причем и точка Тогда элементы инвариантной метрики (1.57) или метрики вычисленные в этой точке будут связаны

соотношением

Рассмотрим теперь некоторую спрямляемую линию лежащую целиком (вместе со своими концами) в области а следовательно, и в области Тогда, интегрируя соотношение (4.1) вдоль линии у, мы найдем, что

Таким образом, длина некоторой линии у в инвариантной метрике (1.57) относительно области не больше чем длина этой линии в инвариантной метрике (1.57) относительно области

Применим это предложение к случаю, когда односвязные области, и возьмем за линию -прямую области соединяющую точки и этой области Тогда окажется, что

Теперь пусть — отрезок -прямой области соединяющий те же точки Благодаря экстремальному свойству геодезических линий инвариантной геометрии в области

Сравнивая соотношения (43) и (4.4), мы получим, что

или, пользуясь определением -расстояния между точками и односвязной области, что

Здесь в областях

Соотношение (4.5) справедливо в некоторых пределах и для неодносвязных областей. Наши рассуждения требуют только возможности соединения точек геодезическими линиями геометрий, определяемых, исходя из формы (1.57), в областях Другими словами, если области не односвязны, то соотношение (4.5) верно в любой области В, составляющей часть области и геодезически выпуклой относительно инвариантных геометрий (1.57) для областей

В случае, когда области односвязны, соотношение (4.6) может быть уточнено. Для упрощения вычислений мы заменим область кругом заменим точку началом координат, обозначим прежнюю точку через прежнюю область через Так как всякую односвязную область можно конформно отобразить на круг, то мы, действуя таким образом, не нанесем ущерба общности наших выводов. Тогда соотношение (4.6) примет вид:

[мы полагаем в формуле так как пользуемся сейчас метрикой (1.57)]. Пусть функция, отображающая круг на область Тогда ввиду инвариантности -расстояния при конформном отображении

Теперь вместо соотношения (4.7) мы получим:

или

Допустим, что в некоторой точке круга соотношение (4.10) превращается в равенство, т. е.

Рассмотрим в круге функцию определенную там равенствами

Эта функция регулярна в круге [так как то Согласно (4.10) в круге

а в точке (причем согласно (4.11)

Таким образом, модуль функции регулярной в круге достигает своего наибольшего значения во внутренней точке этого круга. В силу принципа максимума модуля это возможно только тогда, когда функция сводится к постоянному числу. Тогда в силу и

Функция (4.15) отображает круг на себя. Это означает, что область совпадает с кругом

Отсюда, возвращаясь к общему случаю, мы заключим, что если соотношение (4.6) хотя бы для одной пары точек оказывается равенством, то область совпадает с областью и это соотношение оказывается равенством всюду. Итак, если области различны, то знаки равенства в соотношениях (4.10) и (4.6) следует отбросить: они оказываются строгими неравенствами. В этом выводе и состоит указанное выше уточнение соотношения (4.6).

Мы переходим к формулировке полученных результатов. Прежде всего отметим, что уточненное соотношение (4.6) эквивалентно следующему предложению, дословно совпадающему с классической леммой Шварца:

Если функция регулярна в круге отображает этот круг на область лежащую в круге (иначе говоря, при

то или и область совпадает с кругом или во всех точках круга

Это предложение часто называют элементарной формой леммы Шварца. Нами также доказано следующее предложение:

Общая форма леммы Шварца (теорема 1). Пусть — различные односвязные области и Тогда, если точйи области то

где - расстояния между точками в областях

Теореме 1 можно придать еще другую форму. Рассмотрим -окружности и С -радиуса -центром в некоторой точке относительно областей Тогда в силу неравенства (4.17) замкнутый круг, ограниченный -окруж-ностью должен лежать внутри -окружности Итак, теорему 1 можно заменить следующим предложением:

Общая форма леммы Шварца (теорема 2).

Пусть и -различные односвязные области, некоторая точка, принадлежащая области Тогда, если -окружности Л-радиуса -центром в точке относительно областей то замкнутый круг, ограниченный -окружностью лежит внутри -окружности

Эта формулировка важна тем, что служит исходным пунктом для получения предельного случая леммы Шварца (теоремы Жюлиа), отвечающего помещению точки на границу рассматриваемых областей.

Прежде чем перейти к выводу теоремы Жюлиа, заметим, что в случае метрики (2.99) нельзя высказать для произвольных областей предложения, аналогичного соотношению (4.1). Это различие объясняется тем, что в форме (1.57) коэффициентом при является величина, обратная минимальному значению для функций регулярных при и подчиненных условию в то время

как в форме (2.99) таким коэффициентом служит величина являющаяся согласно (2.96) лишь отношением минимальных значений различных дополнительных условий в точке формулы (2.96)] и .

Впрочем, для случая односвязных областей метрика (2.99) по существу не отличается от метрики (1.57) и тоже приводит нас к сформулированным в настоящем параграфе результатам.