ГЛАВА V. МЕТРИКА, ИНВАРИАНТНАЯ ПРИ ПСЕВДОКОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ

Важность теории, развитой в предыдущих главах, определяется также тем, что она служит прототипом для построения геометрии, инвариантной при псевдоконформных отображениях, т. е. при взаимно однозначных отображениях, осуществляемых в пространстве комплексных переменных с помощью аналитических функций этих переменных. Здесь под аналитической (регулярной) функцией переменных в некоторой области мы, как обычно, понимаем функцию, представимую в окрестности всякой точки степенным рядом.

По своим свойствам псевдоконформные отображения существенно отличаются от конформных отображений: многие особенности взаимно однозначных отображений с помощью аналитических функций еще не проявляются в простейшем случае одного переменного; ряд основных теорем теории конформных отображений не переносится на случай псевдоконформных отображений. К числу последних, в частности, относится фундаментальная теорема Римана о возможности конформного отображения одной односвязной области на другую.

Инвариантная метрика играет большую роль в теории псевдоконформных отображений. Она позволяет построить для каждого класса отображаемых псевдоконформно друг на друга областей так называемую репрезентативную область. Такая репрезентативная область обладает рядом специальных свойств; для односвязных областей плоскости одного комплексного переменного репрезентативными областями оказываются круги с центром в начале координат. С помощью

инвариантной метрики оказывается возможным получить ограничения для изменения величин, связанных с отображаемой областью, построить предложения, являющиеся в известном смысле обобщением леммы Шварца, и т. д.

Из соображений геометрической наглядности мы будем далее рассматривать случай двух комплексных переменных Оказывается, что, в то время как переход от отображений с помощью функций одного переменного к отображениям с помощью функций двух переменных уже нетривиальным образом влияет на суть дела, дальнейшее увеличение числа независимых переменных лишь усложняет вычисления и отягощает формулировки теорем.

Мы не ставим себе целью полностью рассмотреть вопросы, связанные с введением метрики, инвариантной при псевдоконформных отображениях. Задача дальнейшего изложения — лишь показать, как видоизменяются при переходе ко многим переменным свойства инвариантной метрики, рассмотренной нами в предыдущих главах. Поэтому мы, например, далее специально остановимся на инвариантной геометрии в областях, псевдоконформно отображаемых на шар и бицилиндр. Инвариантная метрика, устанавливаемая в этих областях, является непосредственным обобщением инвариантной метрики Лобачевского в односвязных областях плоскости одного комплексного переменного.

В ряде случаев мы опускаем доказательства и ограничиваемся обзором окончательных результатов.