§ 2. Геодезические линии

Мы начнем с определения геодезических линий в верхней полуплоскости для метрики (2.3). Как известно, совокупность геодезических линий, отличных от координатных линий совпадает в верхней полуплоскости с семейством интегральных кривых дифференциального уравнения

В нашем случае

Поэтому уравнение геодезических линий примет вид

Интегрируя его, мы найдем, что

Здесь произвольная постоянная интегрирования.

Далее надо рассмотреть два случая: В первом случае мы в результате последующего интегрирования получим систему линий

Полагая мы запишем искомые уравнения геодезических линий в виде

Рассмотрение второго случая добавляет сюда семейство линий

Итак, к числу геодезических линий инвариантной геометрии в верхней полуплоскости принадлежат попадающие в эту полуплоскость отрезки линий (2.9) и (2.10). Очевидно, что первые — это полуокружности с центрами на действительной оси, вторые — это полупрямые, перпендикулярные к действительной оси.

Нам остается рассмотреть прямые . Легко проверить, что эти линии — не геодезические. Для этого достаточно взять вместо (2.7) дифференциальное уравнение геодезических линий с в качестве независимого переменного и затем убедиться, что прямые не принадлежат к числу его интегральных кривых.

Мы будем (как это принято на плоскости комплексного переменного) смотреть на прямые линии, как на окружности, проходящие через бесконечно удаленную точку плоскости. С этой точки зрения уравнения (2.9) и (2.10) вместе определяют в верхней полуплоскости совокупность всех лежащих там полуокружностей ортогональных действительной оси. Таким образом, показано, что совокупность геодезических линий инвариантной геометрии в верхней полуплоскости совпадает с совокупностью полуокружностей, ортогональных к действительной оси и лежащих в верхней полуплоскости.

Рис. 1.

На рис. 1 изображены эти геодезические линии, проходящие через некоторую точку верхней полуплоскости.

При конформном отображении верхней полуплоскости на другую односвязную область полуокружности переходят в геодезические линии инвариантной геометрии для этой новой области. Мы будем называть, как уже указывали выше, геодезические линии инвариантной геометрии в односвязной области прямыми Лобачевского, кратко — -прямыми этой области. Так, в результате отображения (здесь верхняя полуплоскость переходит в круг полуокружности части окружностей,

ортотональных к окружности лежащие в круге ним, в частности, принадлежат диаметры этого круга). Они и являются -прямыми в круге.

Очевидно, что окружности, на которых лежат -прямые верхней полуплоскости, проходящие через некоторую точку а, проходят и через точку а, симметричную с ней относительно действительной оси. Отсюда благодаря свойствам дробно-линейных преобразований, -прямые всякого круга

проходящие через некоторую точку являются отрезками окружностей, проходящих, кроме точки еще через точку

симметричную с относительно окружности Это замечание указывает легкий способ построения -прямых для любого круга (рис. 5).

Рис. 5.

Легко получить уравнения -прямых круга Для этого надо заменить в (2.9) и (2.10) х и у через из соотношения (где В результате такой замены мы получим уравнение

где действительные параметры, причем

Заметим, что для получения уравнений всех -прямых нет надобности давать параметрам все возможные значения. Уравнения (2.11) определяют диаметры круга если мы возьмем в них

Итак, нами доказана следующая теорема:

Теорема -прямыми в любом круге являются попадающие в него части окружностей, ортогональных к окружности, ограничивающей этот круг.

Рассматривая уравнения (2.9) и (2.10) [или применяя к уравнению (2.7) общую теорему о существовании решений дифференциальных уравнений вида ], легко установить, что через каждую точку верхней полуплоскости по каждому направлению всегда проходит одна и только одна -прямая. Отсюда следует, что тем же свойством обладают -прямые в любой односвязной области. Мы понимаем слова «направление в некоторой точке» в смысле евклидовой геометрии плоскости

Теперь обратимся к проверке гильбертовых аксиом связи. Две первые аксиомы связи непосредственно следуют из того, что через каждые три точки (симметричную с относительно окружности ограничивающей круг всегда проходит одна и только одна окружность (или прямая). Они гласят:

C) Для каждых двух точек односвязной области всегда существует -прямая, проходящая через эти точки.

С2) Для каждых двух точек односвязной области существует не более одной -прямой, проходящей через эти точки.

Третья аксиома связи, очевидно, имеет место в нашем случае. Она утверждает, что

С3) на каждой -прямой лежат по меньшей мере две точки. Существуют по меньшей мере три точки, не лежащие на одной прямой.

Также непосредственно видно, что в нашей геометрии удовлетворяются требования следующих четырех аксиом порядка:

П) Если точки одной -прямой и точка лежит между точками то точка лежит и между точками

П2) Каковы бы ни быни тонки на -прямой существует по крайней мере одна точка лежащая между

П8) Среди любых трех точек -прямой существует не более одной, лежащей между двумя точками.

П4) Пусть точки не лежат на одной -прямой и некоторая -прямая не проходит ни через одну из этих точек. Если при этом она проходит через некоторую точку отрезка -прямой, соединяющей эти точки, то она проходит через некоторую точку отрезка -прямой, соединяющей точки или через некоторую точку отрезка -прямой, соединяющей точки