§ 2. Собственно разрывные подгруппы группы движений Лобачевского

Условимся вести наше рассмотрение в круге Пусть -некоторая подгруппа группы -движений (3.1). Две точки (где и называются гомологичными по отношению к подгруппе если существует -движение переводящее точку в точку т. е. если Всякая неподвижная точка -движения считается гомологичной себе относительно подгруппы

Так как подгруппа вместе с -движением обязательно содержит -движение то порядок точек не играет роли в нашем определении. Мы будем далее называть одну из этих точек гомологом другой относительно подгруппы

Определение 1. Подгруппа группы -движений (3.1) собственно разрывна, если образы некоторой точки а (где при всех -движениях лежат вне некоторой окрестности этой точки.

Существенное свойство собственно разрывных подгрупп -движений состоит в отсутствии у них бесконечно малых преобразований. Мы будем для краткости говорить, что

некоторая подгруппа группы -движений «содержит бесконечно малое преобразование», если в ее состав входит последовательность -движений

где Здесь всегда —

В этом случае в состав подгруппы входят -движения, как угодно близкие к тождественному преобразованию. Если мы положим то при

В любой окрестности точки оказываются в наличии точки гомологичный ей относительно Итак, собственно разрывная подгруппа не может содержать бесконечно малых преобразований.

Однако отсутствие бесконечно малых преобразований еще не обеспечивает отсутствия скоплений пар точек, гомологичных друг другу относительно различных -движений. Такие скопления могут образовываться около предельных точек множества неподвижных точек -движений, входящих в состав подгруппы Действительно, если такая предельная точка, то в любой ее окрестности лежит бесконечное множество неподвижных точек -движений все различны между собой) вместе с их достаточно малыми окрестностями. Эти окрестности содержат бесконечное множество пар точек В силу нашего определения точки и гомологичны друг другу относительно подгруппы Можно показать (мы не будем на этом останавливаться), что и наоборот, всякая точка замкнутого круга в любой окрестности

которой лежит бесконечное множество пар гомологичных друг другу точек и и различны между собой; является предельной точкой множества неподвижных точек -движений Эти обстоятельства являются поводом для следующего определения.

Определение 2. Предельные точки множества неподвижных точек -движений, входящих в состав собственно разрывной подгруппы называются особыми точками этой подгруппы.

Остальные точки замкнутого круга называются ее обыкновенными точками. Очевидно, что особые точки могут иметь только подгруппы, содержащие бесконечное множество -движений.

Теорема 3. Особые точки собственно разрывной подгруппы -движений могут лежать только на абсолюте.

Доказательство. Пусть -движёние, переводящее точку а (из определения 1) в начало координат. Мы рассмотрим вместо подгруппы собственно разрывную подгруппу -движений Согласно определению 1 существует круг не содержащий гомологов точки относительно подгруппы Если теорема 3 верна для подгруппы то она верна и для подгруппы и наоборот.

Мы будем вести доказательство для подгруппы Пусть

-движения, входящие в состав подгруппы В силу сказанного предположим, что сверх того где -движение так как —группа; поэтому и

Отсюда

Таким образом, в любом кольце может лежать только конечное число точек аффиксы которых служат параметрами [см. формулу (3.1)] для -движений

Далее, очевидно, что в нет двух различных -движений имеющих одинаковые параметры и отличающихся значениями параметра 6 (равного для одного из этих -движений , а для другого Если бы подгруппа содержала такие -движения, то к ней принадлежало бы и -движение

Последнее оставляет точку неподвижной, что противоречит определению подгруппы

Из сказанного следует, что подгруппа состоит, самое большее, из счетного множества -движений. Далее мы рассматриваем именно этот случай.

Пусть подгруппу составляют -движения

где Тогда отсюда на основании (3.3) следует, что

Этим наша теорема доказана.

Сверх того мы показали, что всякая собственно разрывная подгруппа группы -движений состоит, самое большее, из счетного множества преобразований.

Теперь мы остановимся на некоторых свойствах особых точек собственно разрывных подгрупп группы -движений.

Теорема 4. В любой окрестности особой точки собственно разрывной подгруппы группы -движений содержится бесконечное множество гомологов относительно этой подгруппы всех точек круга.

Доказательство. Предположим сначала, что -предельная точка множества неподвижных точек совокупности

Л-сдвигов или предельных -вращений, входящих в состав рассматриваемой подгруппы Пусть неподвижная точка одного из этих -движений лежащая на абсолюте в пределах окрестности Если оказывается -сдвигом, то всегда можно предположить, что это преобразование сдвигает точки круга к точке чего, возможно, придется заменить -движение -движением Теперь возьмем -движения все они входят в состав подгруппы По данной точке можно всегда указать такое число что при точка оказывается лежащей внутри данной окрестности. Действительно, пусть — -прямая, соединяющая неподвижные точки -движения -прямая, проходящая через точку и перпендикулярная к -прямой При -сдвиге точка перемещается вместе со всей -прямой так, что точка пересечения -прямых и То сдвигается по -прямой на отрезок, имеющий -длину (определенную для -сдвига L). Для -сдвига эта -длина равна пр и стремится к вместе с Поэтому при достаточно большом -прямая окажется целиком внутри окрестности Отсюда следует наше утверждение.

Предельное -вращение перемещает -параллели пучка, сходящегося к его неподвижной точке (лежащей на абсолюте), сохраняя в целом этот пучок. Беря -параллель из этого пучка, проходящую через некоторую точку круга и пользуясь соответствующей итерацией -движения мы переведем в другую -прямую из того же пучка, целиком лежащую в Дальнейшее применение предельного -враще-ния даст нам новые точки, гомологичные относительно подгруппы в окрестности

Предположим теперь, что предельная точка множества неподвижных точек совокупности -вращений (входящих в состав рассматриваемой подгруппы). Пусть неподвижная точка одного из этих -вращений взятая настолько близко к что в окрестности оказывается лежащей целая -прямая проходящая через точку Тогда окрестность содержит целиком одну из двух областей, на которые делит -прямая круг Обозначим эту область через Пусть произвольная точка круга

-полупрямая, выходящая из точки и проходящая через точку Очевидно, что среди -вращений обязательно найдутся такие, для которых Учитывая еще, что окрестность содержит бесконечное множество неподвижных точек (различных) -вращений мы должны признать нашу теорему доказанной.

Заметим, что теорему 4 нельзя высказать для точек окружности Например, если подгруппа состоит из всех степеней -сдвига (включая равное тождественному преобразованию) с неподвижными точками то в окрестности точки а вовсе нет гомологов точки Мы предоставляем читателю самому сформулировать аналог теоремы 4 для замкнутого круга.

Можно показать (мы не будем этого делать), что множество особых точек собственно разрывной подгруппы группы -движений переводится в себя любым -движением, принадлежащим к этой подгруппе, и что это множество, если оно содержит более чем две точки, совершенно. Последнее обстоятельство служит основанием для некоторой классификации собственно разрывных подгрупп группы -движений. Они подразделяются на конечные подгруппы (состоящие из конечного числа -движений — такие подгруппы не имеют особых точек); на подгруппы, имеющие одну особую точку; на подгруппы, имеющие две особые точки, и на остальные подгруппы.