§ 2. Распространение леммы Шварца на орициклы и гиперциклы

Внесем следующие изменения в условия теоремы 2:

1) Предположим, что односвязная область круг а односвязная область которую мы далее будем называть областью О, составляет часть этого круга. Кроме того, допустим, что граница области проходит через точку и является в окрестности этой точки аналитической кривой.

Заметим сразу, что эти требования к области О можно иначе сформулировать так: область должна быть образом круга при конформном отображении причем при функция регулярна в некоторой точке Пользуясь существующей степенью произвола в выборе функции, отображающей круг на область можно всегда взять таким образом, далее мы считаем функцию регулярной при (здесь , так как в противном случае область не могла бы составлять часть круга ).

2) Вместо одной точки мы рассмотрим последовательность точек сходящуюся к точке Мы возьмем

где действительные, положительные числа, меньшие единицы и стремящиеся к единице, когда Итак, у нас

Мы также будем далее рассматривать точки плоскости С, имеющие числа своими аффиксами.

3) Вместо одной -окружности относительно области мы рассмотрим последовательность -окружностей являющихся при конформном отображении образами -окружностей (относительно круга -центрами в точках проходящих через фиксированную точку Здесь

Соответственно этому вместо -окружности мы возьмем последовательность -окружностей -центрами в точках и -радиусами, равными В силу теоремы 2 каждый замкнутый круг, ограниченный -окружностью лежит внутри -окружности

Полагая мы получаем счетное множество кругов Пусть множество точек круга одновременно принадлежащих почти всем кругам («почти всем» т. е. всем кругам 4, за возможным исключением конечного числа этих кругов), множество точек области одновременно лежащих внутри почти всех -окружностей — прообраз точечного множества V в круге Непосредственно видно, что V — внутренность орицикла, касающегося абсолюта в точке и проходящего через точку внутренность соответствующего орицикла для области Ниже мы увидим, что точечное множество является орициклом относительно круга

Из определения точечных множеств и теоремы 2 (примененной к -окружностям следует, что

Соотношение (4.20) по существу и выражает теорему Жюлиа для орициклов. Задача дальнейших рассуждений состоит лишь в уточнении полученного результата и переводе его на язык неравенств.

Мы заменим -окружности -окружностями с Л-центрами в точках и -радиусами, попрежнему равными Так как то Поворот вокруг начала координат на угол переводит любое множество точек круга в множество и -конгруент-ное (в смысле инвариантной геометрии в круге и конгруентное (в смысле евклидовой геометрии плоскости Поэтому множество точек, одновременно принадлежащих почти всем кругам снова составляет определенное выше точечное множество

Обозначим через левые точки пересечения -окружностей с действительной осью. По построению

Отсюда мы находим, пользуясь формулой (2.27), что

В силу первого предположения существует

Мы покажем, что тогда имеет предел и величина

причем

Действительно, так как область составляет часть круга то по теореме 10 главы I

Согласно теореме 7 главы I

где функция, обратная для функции отображающей круг на область Таким образом,

или иначе

Теперь положим этом случае мы, учитывая, что сможем дополнить соотношение (4.29) очевидным неравенством

Соединяя неравенства (4.29) и (4.30) и пользуясь равенством (4.24), находим, что

Отсюда в силу соотношений (4.19) следует равенство (4.25).

Используй этот вывод, мы найдем из (4.22), что существует

где

Отсюда вытекает, что точечное множество является внутренностью орицикла круга касающегося окружности в точке и проходящего через точку Далее, полагая в где (евклидовы) радиусы орициклов мы найдем, что

Наконец, еще заметим, что соотношениям (4.20) и (4.34) можно придать форму неравенства для функции Если С — точка орицикла А, то

иди, как показывает непосредственный подсчет,

Тогда соответствующая точка должна лежать внутри или на границе орицикла т. е. удовлетворять неравенству

или, иначе, неравенству

Подставляя сюда из (4.36), мы найдем, что для всех значений С, удовлетворяющих условию

Этим неравенством обычно записывается теорема Жюлиа.

Предположим теперь, что точке одного из орициклов соответствует при конформном отображении точка орицикла связанного с орициклом соотношением (4.34). Тогда для этого значения соотношение (4.39) обратится в равенство. Покажем, что в этом случае отображение является -движением в круге и соотношение (4.39) обращается в равенство во всех точках указанного круга.

Мы рассмотрим другой орицикл (тоже касающийся абсолюта в точке лежащий внутри орицикла пусть левая точка пересечения орицикла А с действительной осью. Легко видеть, что соответствие между точками а и действительной оси, определяемое соотношением (4.33), является

-движением в круге единичного радиуса с центром в начале координат. Поэтому, если -орицикл, отвечающий орициклу в соотношении левые точки пересечения орициклов с действительной осью (на плоскости ), то Возьмем на орицикле такую точку что положение можно определить тем, что в ней орицикл пересекается с -прямой, проходящей через точку и оканчивающейся в точке по этому поводу конец § 9 главы II).

Тогда в силу соотношения (4.20) образ точки при отображении должен оказаться внутри или на границе орицикла и поэтому

(Здесь следует вспомнить, что наименьшее Л-расстояние между точками орициклов С другой стороны, по теореме 1 настоящей главы

Сравнивая соотношения (4.40) и (4.41), мы заключим, что

Отсюда следует (см. теорему 1 настоящей главы), что область не может отличаться от круга Тогда отображение должно быть -движением в круге единичного радиуса с центром в начале координат. Учитывая еще, что мы найдем для этого случая:

Здесь — какое-то комплексное число, подчиненное условию

Мы объединим результаты наших исследований в следующих двух (равносильных друг Другу) предложениях:

Теорема 3. (Теорема Жюлиа для орициклов.) Пусть функция регулярна в круге и в точке отображает этот круг на область отличную от круга составляющую его часть, причем

Тогда точкам круга лежащим внутри и на орицикле (евклидового) радиуса касающегося окружности в точке соответствуют при отображении точки области лежащие внутри орицикла Г {евклидового) радиуса причем радиусы связаны между собой соотношением (4.34). В нем положительная величина.

Теорема 4. (Теорема Жюлиа для орициклов.) Если 1) функция регулярна в круге и там функция регулярна в точке причем то или во всех точках круга

или функция определяемая равенством (4.43). В последнем случае неравенство (4.44) заменяется равенством во всех точках круга.

При наших предположениях

Мы оставляем читателю изменение формулировок теорем 3 и 4 сначала на случай, когда вместо значения берется значение и предполагается, что а затем — на случай произвольных односвязных областей В последнем случае причем границы этих областей имеют общую точку, касаются в ней друг друга и являются в окрестности этой точки аналитическими кривыми.

Отметим еще, что К. Каратеодори усилил теорему Жюлиа, заменив в ней предположение о регулярности функции в точке предположением о существовании предела величины (4.24).

Г. Жюлиа принадлежит распространение леммы Шварца на гиперциклы. Предположим, что функция регулярна в круге и там регулярна в точках где — два фиксированных числа, удовлетворяющих условию — этом когда (оставаясь внутри круга

Мы обозначим дугу окружности состоящую из точек где через и предположим сверх указанного выше, что образ дуги при отображении составляет дугу окружности При этом дуга не должна совпадать со всей окружностью

Наконец, пусть гиперциклы кругов соединяющие концы дуг и составляющие с этими дугами углы, равные, а (точки соединения этих гиперциклов с окружностями не причисляются), а и области, ограниченные линиями в соответствующих плоскостях. Тогда может быть высказана следующая теорема:

Теорема 5. Если точка то точка если то или или В случае, если последнее имеет место хотя бы для одной точки то конформное отображение сводится к -движению в круге единичного радиуса с центром в начале координат.

Мы не будем здесь останавливаться на доказательстве этого предложения.