§ 4. Расстояние Лобачевского между двумя точками

Определение. Расстоянием по Лобачевскому (кратко — -расстоянием) между точками односвязной области называется длина в метрике (2.1) (т. е. -длина) отрезка -прямой, соединяющего точки

В силу аксиом -расстояние между двумя точками всегда существует и определяется единственным образом. Если некоторое -движение переводит точки в точки то -расстояние между точками равно -расстоянию между точками Для дальнейшего имеет важное значение следующее предложение:

Два отрезка -прямых и конгруентны друг другу в том и только в том случае, если -расстояние между точками равно -расстоянию между точками

Достаточно доказать это утверждение для круга Подберем -движение, переводящее -полупрямую, выходящую из точки А (мы включаем в нее точку А) и содержащую точку В, в -полупрямую, определенную условиями Пусть образ точки В при этом -движении. Затем другим -движением мы переведем -полупрямую, выходящую из точки (мы включаем в нее точку и содержащую точку в ту же Л-полупрямую: Пусть образ точки при этом -движении.

Если то в силу транзитивности -конгруент-ности и Последнее означает, что существует -движение, переводящее отрезок -полупрямой в отрезок той же -полупрямой (отрезок, симметричный относительно действительной оси, совпадает с ним самим). Это -движение должно: 1) или переводить точку В в точку оставляя на месте точку О, 2) или переводить точку точку Простая проверка на основании формулы (2.22) показывает, что такие -движения могут существовать только в том случае, если точки совпадают. Но тогда совпадают и отрезки -полупрямой ОВ к Вследствие однозначной определенности -расстояния. между двумя точками отсюда вытекает, что -расстояние между точками и точками равно.

Наоборот, если последнее дано, то должны быть равны -длины отрезков действительной положительной полуоси и Отсюда на основании свойств интеграла, определяющего -длину, следует, что точки совпадают между собой. Но тогда и по смыслу определения -конгруентности и вследствие ее транзитивности

Наша ближайшая цель — найти явное выражение для -расстояния между точками круга Мы подберем -движение, переводящее -полупрямую, выходящую из точки (мы включаем в точку и содержащую точку в -полупрямую, определенную условиями

Это -движение переводит точку в точку а точку в точку с аффиксом

Точка лежит на действительной положительной полуоси.

Отсюда легко видеть, что образом точки при рассмотренном -движении будет точка

Теперь нам остается вычислить в метрике -длину отрезка оси между точками Эта -длина равна интегралу

Мы обозначим -расстояние между точками для круга символом Тогда наш результат выразится равенством

Отобразив на круг верхнюю полуплоскость, мы определим, исходя из формулы (2.27), -расстоянпе

между точками для верхней полуплоскости:

Таким же образом может быть определено -расстояние между двумя точками и для других односвязиых областей, если известна функция отображающая эту область на круг

Мы переходим к рассмотрению на основе формулы (2.27) свойств -расстояния между двумя точками. Мы утверждаем, что

Первое из этих свойств очевидно. Второе следует из определения оно видно непосредственно из формулы (2.27), так как Третье свойство можно было бы получить, исходя из экстремального свойства геодезических линий; оно усматривается и непосредственно. Для этого удобно сначала применить к точкам -движение, переводящее точку в точку Если мы обозначим через и образы точек при этом -движении, то нам останется показать, что Таким образом, дело сводится к доказательству неравенства

которое проверяется непосредственно: его следует возвести в квадрат и затем использовать то, что

В процессе этой проверки мы еще убедимся в том, что рассматриваемое соотношение обращается в равенство в том и только в том случае, если точки лежат на одной и той же -прямой.

Условия -это так называемые аксиомы метрического пространства; мы установили, что они имеют место в нашем случае.

Наконец, отметим, что когда -расстояние от фиксированной точки до точки неограниченно возрастает, то точка неограниченно приближается к границе области. Это легко усматривается из формулы (2.27) или формулы (2.28).

Мы объединим установленные нами факты в следующей теореме:

Теорема -расстояние между точками для круга находится по формуле (2.27). Оно удовлетворяет аксиомам метрического пространства (2.29). Когда -расстояние от фиксированной точки до точки неограниченно возрастает, то точка неограниченно приближается к окружности (и наоборот).

Последнее обстоятельство дает основание называть границу односвязной области в которой установлена метрика (2.1), абсолютом инвариантной геометрии, таким образом определяемой в этой области. Ниже мы пользуемся этим названием.

Из формулы (2.27) легко видеть, что -расстояние от точки до точки совпадает с величиной где ангармоническое отношение точек Так как ангармоническое отношение четырех точек — инвариант -движений (2.22), то и вообще

Здесь концевые точки -прямой, соединяющей точки Формула (2.30) может служить определением -расстояния в любом круге плоскости

В заключение настоящего параграфа мы докажем одно предложение частного характера, используемое в следующей главе. Оно гласит:

Геометрическим местом точек, находящихся на одинаковом -расстоянии от двух данных точек, является -прямая, перпендикулярная к отрезку -прямой, соединяющему эти точки, рассекающая -длину этого отрезка пополам,

Для доказательства мы совместим с помощью надлежащего -движения данные точки с точками действительной оси (у нас число к подбирается в соответствий с -расстоянием между данными точками. Тогда искомое геометрическое место определится уравнением

или уравнением

Непосредственно видно, что последнее уравнение можно заменить более простым

или, иначе, Этим наше утверждение доказано.