ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

— методы приближенного решения задач прикладной математики, основанные на сведении исходной задачи к некоторой вариационной задаче, т. е. к задаче определения минимума некоторого функционала. Напр., решение краевой задачи для обыкновенного дифф. ур-ния (см. Уравнений классификация)

можно заменить задачей отыскания ф-ции обращающей в минимум такой функционал, для которого (1) является ур-нием Эйлера (см. Вариационное исчисление). Это не единственный путь для получения функционалов, принимающих миним. значение при подстановке в них решения краевых задач. Можно, напр., решая краевую задачу для ур-ния (1), рассматривать функционал

в классе всех ф-ций, удовлетворяющих граничным условиям и обладающих достаточным к-вом непрерывных производных отрезок, на котором ищется решение). Можно также заменить (2) более общим функционалом

где — некоторая положительная весовая функция. Функционалы (2) и (3) принимают наименьшее значение, равное 0, при подстановке в них решения краевой задачи. Такой способ получения функционалов наз. наименьших квадратов методом. Существуют и другие виды функционалов, минимум которых достигается на решении краевой задачи.

В общем случае, если операторное уравнение

(где А — аддитивный симметричный оператор, определенный на всюду плотном в гильбертовом простр. Н (см. Пространство абстрактное в функциональном анализе) мн-ве имеет решение, то на этом решении функционал

принимает наименьшее значение в НА. Наоборот, если в НА существует элемент минимизирующий функционал (5), то является решением ур-ния (4). Функционалы (2) и (3) можно рассматривать как частные случаи функционала

Для отыскания наименьшего значения функционала применяют многие вычисл. методы (см. Операторных уравнений способы решения).

А. И. Березовский.