1.8. Парадокс будильника

Наша следующая тема также имеет отношение к следствиям из принципа неопределенности. Как я уже упоминал, Эйнштейн одно время старался показать несостоятельность принципа неопределенности, придумывая эксперименты, в результате которых было бы

возможно определение физических величин с большей точностью, чем допускается принципом неопределенности. Одно из его предложений касалось соотношения между энергией и временем

Смысл этого соотношения не так прост, как, например, соотношения между координатой и импульсом. Это связано с тем, что время не является наблюдаемой. Само по себе измерение времени не дает какой-либо информации о физической системе, а утверждение о какой-либо другой физической величине обычно подразумевает, что мы говорим о ее значении в некоторый определенный момент времени. Тогда в случае сохраняющейся величины, такой, как энергия изолированной системы, результат измерения дает энергию в произвольный момент времени. Ландау любил подчеркивать это обстоятельство, говоря: «Ясно, что такого ограничения нет — я могу измерить энергию и посмотреть на часы; тогда я знаю и энергию, и время!»

Существует, однако, ряд важных вопросов, ответ на которые может быть получен с помощью неравенства (1.8.1). Один из них связан с передачей энергии от одной части физической системы к другой. Если — погрешность, с которой мы знаем переданную энергию, — погрешность в определении времени, за которое произошла эта передача энергии, то справедливо неравенство (1.8.1).

Чтобы опровергнуть это, Эйнштейн предложил следующее устройство: ящик с идеально отражающими стенками содержит некоторое излучение, полная интенсивность которого остается постоянной до тех пор, пока ящик закрыт. В ящике имеется часовое устройство, которое на короткий интервал времени открывает окошечко (затвор) в стенке ящика в заранее оговоренное время. Казалось бы, таким образом с ошибкой фиксируется время, за которое излучение может выходить из ящика. Количество испущенного излучения может быть установлено посредством определения полного запаса энергии ящика до и после действия

затвора путем тщательного взвешивания ящика и использования соотношения между массой ящика и его запасом энергии. Казалось бы, нет связи между интервалом времени и точностью определения энергии.

Эйнштейн изложил идею этого мысленного эксперимента Нильсу Бору, который после долгих размышлений пришел к следующему решению. Взвешивание какого-либо предмета означает измерение действующей на него гравитационной силы, а единственный путь измерения силы — применение закона Ньютона. Другими словами, мы должны измерить скорость изменения полного импульса в гравитационном поле. (Если это — непривычное описание процесса взвешивания, вспомните, что обычно всегда ждут пока весы придут в равновесие, предоставляя трению диссипировать добавочный импульс. Но проверяя, что весы уже пришли в равновесие, мы тем самым устанавливаем, что скорость изменения импульса равна нулю.)

Пусть ящик движется с ускорением под действием гравитационного поля в течение некоторого времени и предположим, что приращение импульса измеряется с ошибкой . Тогда сила тяжести, действующая на ящик, известна с погрешностью масса — с погрешностью (где — ускорение свободного падения) и, следовательно, энергия — с погрешностью

Знание импульса ящика в пределах согласно обычной формулировке принципа неопределенности, означает, что его координата известна с погрешностью, превышающей значение связано с обычным соотношением. Теперь мы] подошли к сути дела: согласно общей теории относительности, или просто по принципу эквивалентности, время, измеренное по некоторым часам, изменяется на величину, пропорциональную потенциалу гравитационного поля в месте расположения часов. В течение взвешивания координата ящика (и, следовательно, часов внутри него) известна с погрешностью и поэтому потенциал гравитационного поля известен с погрешностью Это служит причиной того, что ход времени известен с точностью до некоторой неизвестной ошибки порядка и через время показания этих часов и часов стороннего наблюдателя различны в пределах ошибки

Комбинируя это значение с результатом для и используя связь между возвращаемся к (1.8.1), так как ошибка в показании часов есть также ошибка в нашем знании интервала времени, в течение которого затвор фактически был открыт. Заметьте, что мы не можем определить ошибку в показании часов, проверяя их по окончании опыта, потому что по ходу эксперимента требуется измерять энергию ящика также после испускания излучения, и, следовательно, необходимо второе взвешивание, приводящее к появлению в показании часов дополнительной ошибки того же порядка, что и первая. Поэтому мы не можем определить, насколько ошиблись часы между двумя взвешиваниями, в то время когда они управляли затвором.

Возникает вопрос, нельзя ли усовершенствовать эксперимент, если не монтировать часовое устройство в ящике, а удерживать его в некотором фиксированном месте и заставить открывать затвор с помощью дистанционного управления. В этом случае, однако, ошибки вводятся не показаниями часов, а непредсказуемыми задержками при передаче сигнала от часов к затвору, который в гравитационном поле расположен в неточно определенном месте.

Здесь наше удивление, без сомнения разделенное Эйнштейном, связано со способом, с помощью которого гравитационный красный сдвиг — следствие общей теории относительности — помогает разрешить парадокс, возникающий при применении равенства специальной теории относительности к принципу неопределенности в квантовой механике.

Заметим, что затруднения существуют и при других применениях соотношения (1.8.1). Одно из обычно принимаемых истолкований состоит в том, что измерительный прибор, который взаимодействует с изучаемой системой некоторое время не может определить энергию системы с погрешностью, меньшей эти две ошибки опять связаны тем же неравенством. Ааронов и Бом построили контрпример для этого правила. В этом примере, по-видимому, представляющем чисто академический интерес, взаимодействие описывается членом в гамильтониане, пропорциональным импульсу частицы, символизирующей «систему», и координате

«прибора» (или наоборот), который зависит от времени благодаря множителю, обращающемуся в нуль вне временного интервала продолжительностью

Вероятно, разрешение этого парадокса в том, что по каким-то причинам такой гамильтониан взаимодействия не допустим в квантовой механике, хотя никто не может указать, какие общие принципы при этом нарушаются. Возможно, существен тот факт, что очень похожее выражение, а именно

может встретиться при описании взаимодействия заряженной частицы с зависящим от времени магнитным полем. Если мы хотим рассматривать одну координату частицы как «систему», а другую как «прибор», каждое из двух слагаемых в этом выражении соответствует форме, использованной Аароновым и Бомом, но при наличии обоих слагаемых, как в реальном физическом случае, нарушения неравенства (1.8.1) уже не происходит. В этом вопросе все еще можно ожидать новых сюрпрйзов.