1.3. Волны и частицы

Одна из основополагающих идей квантовой механики, впервые осознанная Луи де Бройлем, — аналогия между светом и материей. Она учит, что и свету, и материи присущи свойства и волны, и частицы; начиная знакомство с квантовой механикой, мы все видели проявление корпускулярных свойств света в формуле излучения Планка или в эффекте Комптона, а волновой природой электрона встречались в экспериментах по дифракции.

Цсходя из этого может показаться исторической случайностью, что физики первоначально сталкивались только с волновыми проявлениями света и только с корпускулярными свойствами частиц, имеющих массу (таких, как электроны). Поэтому можно считать сюрпризом осознание того, что это совсем не случайность и что аналогия между светом и материей имеет очень жесткие ограничения. В самом деле, как мы увидим,

не может быть ни классической полевой теории для электронов, ни классической динамики частиц для фотонов.

Чтобы понять, почему это так, заметим: поле характеризуется амплитудой и фазой. Для того чтобы было применимо классическое рассмотрение, обе эти величины должны быть заданы с пренебрежимо малой неопределенностью. Но для амплитуды и фазы существует соотношение неопределенности. Если для простоты рассмотреть скалярное поле, то волна может быть записана как

где у — фаза поля, некая постоянная, нормированная так, что

где — число квантов соответствующей моды. Тогда адекватное нашим целям соотношение неопределенности (уточнение будет дано в разделе 1.4) имеет вид

Это неравенство показывает, что любое знание фазы 7 требует некоторой неопределенности числа квантов Отсюда любой способ измерения поля, включающий измерение фазы, должен допускать возможность изменения количества квантов на неопределенное число. Для электрона это невозможно как из-за его заряда, так и из-за полуцелого спина. Электроны не могут быть созданы или уничтожены поодиночке. Наблюдение, связанное с рождением или уничтожением электрон - позитронной пары, дает информацию только о волновой функции пары, или, иными словами, о произведении полей электрона и позитрона.

Следующая трудность относится ко всем фермионам, и заряженным, и нейтральным, если мы хотим не толь ко обладать информацией о фазе, но и рассматривать поле как классическую величину. Тогда неопределенность фазы должна быть мала по сравнению с единицей, а неопределенность мала по сравнению с самим значением Но из (1.3.3) следует, что для этого требуется выполнение условия

Поскольку — число квантов соответствующей моды, видно, что это требование противоречит принципу

Паули, допускающему не более одной частицы в каждом состоянии.

Итак, фермионы не могут быть описаны классическим полем. Этой трудности не существует применительно к бозонным полям. Действительно, в случае излучения обычный способ определения электромагнитных полей основан на учете взаимодействия, описываемого в гамильтониане членом вида где — плотность тока, а векторный потенциал А содержит операторы рождения и уничтожения фотонов.

Требование того, чтобы было велико также без труда удовлетворяется, когда мы имеем дело с классическим электромагнитным полем. Легко видеть, что в случае непрерывного спектра под по порядку величины надо понимать число фотонов в объеме где к — длина волны. Оценка показывает, что для источника мощностью в 1 кВт, работающего на частоте 1 мГц, значение падает до единицы только на расстояниях от источника, превышающих Подобным же образом можно убедиться, что луч лазера достаточно интенсивен, чтобы мы могли определить амплитуду и фазу поля с хорошей точностью.

Для нейтральных бозонов (например, для нейтральных пионов) не возникает трудностей, связанных с сохранением их числа или с принципом Паули. Однако, так как они имеют отличную от нуля массу покоя, изменение их числа приводит к существенному изменению энергии. Суперпозиция состояний с различным числом частиц должна, следовательно, очень быстро осциллировать во времени, по крайней мере в случае свободных полей. Хотя на определение фазы поля в этом случае нет принцициального запрета, эта ситуация представляет чисто академический интерес.

Другая сторона проблемы связана с возможностью трактовки фотонов как классических частиц. Это потребует введения в рассмотрение положения (координаты) фотона как наблюдаемой. Если бы это было возможно, то квантовая механика должна была бы «уметь» предсказывать результат ее наблюдения. Это означало бы существование выражения для вероятности обнаружения фотона в данном элементе объема. Это выражение должно было бы вести себя, как плотность, т. е. быть временной компонентой -вектора. Будучи вероятностью, она (плотность) была бы, кроме того, положительно определена, а значит, равнялась бы

квадрату или сумме квадратов величин, характеризующих поле. Но электромагнитное поле задают векторы (такие, как векторный потенциал) или тензоры второго ранга (такие, как амплитуды поля). Они все — тензоры целого ранга; это справедливо и для их производных. Квадрат компоненты любого тензора целого ранга является частью тензора четного ранга и не может быть -вектором.

Изложенные выше соображения использовались Дираком в его классической работе о релятивистском волновом уравнении электрона и привели к необходимости приписать электрону в качестве волновой функции спинор, который является тензором полуцелого ранга. Хотя для электрона ответ был правильным, позднее из работы Паули и Вайскопфа стало ясно, что постулат существования координаты как наблюдаемой величины не самоочевиден. В противном случае нельзя было бы поверить в существование пионов и других бозонов.

Вывод о том, что положение фотона не является наблюдаемым, кажется несколько неожиданным. Надо, конечно, помнить, что, вне всяких сомнений, мы можем локализовать фотоны с точностью геометрической оптики, в рамках которой корпускулярное и волновое описания эквивалентны. Речь идет об определении положения внутри волнового пакета или луча в геометрической оптике, аналогичном наблюдению, которое могло бы локализовать электрон внутри атома водорода.

Можно возразить, что существуют эксперименты, дающие распределение фотонов в пространстве — такие, как полосы Липпмана, наблюдаемые на фотопластинках в стоячей волне, образующейся на отражающей поверхности. Однако фотопластинка реагирует на электрический вектор световой волны. Если бы можно было сделать детекторное устройство, основанное на дипольных магнитных переходах, оно реагировало бы на магнитный вектор, и эксперименты Липпмана с таким устройством показывали бы максимум там, где на обычной фотопластинке минимум, и наоборот. Движущаяся фотопластинка будет реагировать на электрический вектор, определенный в связанной с фотопластинкой системе отсчета, в которой он равен линейной комбинации электрического и магнитного векторов в лабораторной системе, так что полосы будут сдвинуты. (Это тесно связано с тем фактом, что нельзя ввести

плотность фотонов с правильными релятивистскими трансформационными свойствами.)

Та же трудность возникает применительно ко всем бозонам, имеющим целый спин, поля которых являются, следовательно, тензорами целого ранга. Как же тогда понять, почему использование уравнения Шредингера для -мезонных атомов, по-видимому, дает вполне удовлетворительный результат без явных осложнений с интерпретацией? Это объясняется тем, что для мезонных полей существует положительно определенное выражение для плотности энергии. В нерелятивистском пределе кинетическая и потенциальная энергии мезонов пренебрежимо малы в сравнении с их энергией покоя; таким образом, можно считать, что энергия, приходящаяся на частицу, равна Это дает возможность представить плотность частиц в виде произведения на плотность энергии. Таким образом, координате бозона может быть приписано приближенное значение — в нерелятивистской области.

Для электрона ситуация в действительности не лучше, если вспомнить, что уравнение Дирака допускает решения с отрицательной энергией, которые должны быть переосмыслены в свете теории позитрона. В результате любое измерение координаты, при котором неопределенность импульса становится релятивистской, может привести к рождению пары и, следовательно, увести нас от. одноэлектронной картины, в рамках которой применимо представление о «координате электрона».

Таким образом, видно, что в нерелятивистской области понятие координаты в конечном счете применимо и к фермионам, и к бозонам и неприменимо ни к тем, ни к другим вне этой области. Исключительная роль фотона обусловлена отсутствием у него массы, из-за чего он никогда не может быть нерелятивистским. Отсутствие массы позволяет легко рождать и поглощать фотоны и тем самым помогает реализовать переход к классическому полю.

Историческая справка. Соображения, сформулированные выше, впервые обсуждались Паули и автором. Краткое резюме можно найти также в другой работе.