1. ОБЩАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

1.1. Борновское приближение для короткодействующего взаимодействия

Борновское приближение — хорошо известное и удобное приближение для решения задач рассеяния Оно так часто оказывается достоверным или, по крайней мере, информативным, что мы склонны по привычке применять член первого порядка этого приближения без должной проверки условий его применимости.

Разумеется, мы, вероятно, остановимся и проверим, не приводит ли использование первого члена борновского приближения к большому сдвигу фазы, так как большой сдвиг фазы, очевидно, не может быть вызван слабым возмущающим потенциалом. Возникает искушение доверять приближению, если оно предсказывает малый сдвиг фазы или если мы знаем, что истинный сдвиг фазы мал. Однако ни одно из этих утверждений не является достаточным для обоснования применимости первого борновского приближения, и это особенно важно в случае короткодействующих сил.

Для того чтобы прояснить ситуацию, напомним, что в первом борновском приближении амплитуда рассеяния равна

где — масса рассеивающейся частицы, — рассеивающий потенциал, — плоские волны, соответствующие начальному и конечному состояниям. С другой стороны, точное выражение для амплитуды рассеяния есть

где — полное решение уравнения Шредингера заданном потенциале, содержащее и падающую и

рассеянную волны. Возникает соблазн сделать заключение, что, если рассеяние слабое, отличие между Ф и должно быть малым, а выражение (1.1.1) — приемлемое приближение для (1.1.2). Этот вывод небезопасен, особенно для короткодействующего потенциала, поскольку справедливость приближения зависит от степени близости именно в области действия потенциала.

1.1. Радиальные волновые функции при -рассеянии в короткодействующем отталкивательном потенциале свободной частицы и точного решения

Если радиус действия потенциала мал в сравнении с длиной волны, то в основном имеет место -рассеяние. Тогда приведенные выше соотношения можно заменить выражениями

где — сдвиг фазы, в — его значение в первом борновском приближении, а — радиальные волновые функции (включающие обычный множитель ). На рис. 1.1 качественно изображены эти функции в короткодействующем отталкивательном потенциале. В этом примере фаза 6 мала, а незначительно отличается от практически везде, кроме области малых где обе функции малы, однако гораздо меньше но это как раз та область, где потенциал достаточно велик, и поэтому именно эта область дает основной вклад в интеграл (1.1.4).

Рассмотрим, например, прямоугольный потенциальный барьер высоты В и радиуса а. Тогда сдвиг фазы волны определяется из уравнения

где к — волйовое число рассеивающейся часаицы, а

Значение К может быть и мнимым. Если радиус а гораздо меньше длины волны, то . В этом случае вне зависимости от потенциала сдвиг фазы также мал, и можно аппроксимировать решение (1.1.5), полагая

Если и мало, то можно разложить и

где — значение сдвига фазы в первом борновском приближении. Этот результат справедлив, если

и тогда значение тем более мало.

Однако если то, хотя борновский сдвиг фазы по-прежнему мал, он не дает правильного ответа. Таким образом, это пример ситуации, при которой малы и истинный сдвиг фазы, и сдвиг фазы, рассчитанный с помощью первого борновского приближения, однако само приближение несправедливо.

Напротив, когда борновский сдвиг фазы велик, в то время как истинный остается малым. Эту ситуацию следует запомнить, чтобы избежать сюрпризов при расчетах в задачах рассеяния.