1.2. Теневое рассеяние

Существует весьма общее тождество, регулирующее все процессы рассеяния, это так называемая «оптическая теорема» — частный случай еще более общего соотношения унитарности, гарантирующего сохранение вероятности. Для частиц без спина оптическая теорема имеет вид

амплитуда упругого рассеяния на угол — полное сечение рассеяния. Аналогичное

тождество выполняется для амплитуды и вклада в полное сечение рассеяния парциальной волны:

где вклад в полное сечение рассеяния парциаль ной волны с моментом количества движения — парциальная амплитуда упругого рассеяния. Полный вклад парциальной волны в упругое рассеяние есть

Так как квадрат мнимой части некоторой величины меньше квадрата ее модуля, имеем неравенство

Введенная здесь величина есть мера той части полной интенсивности, которая связана с парциальной волной; естественно, что эта величина должна проявиться в законах сохранения.

Эффективное сечение неупругого рассеяния равно разности между полным сечением и упругой его частью, так что неравенство (1.2.4) означает, что

Правая часть этого выражения достигает максимума, равного при Отсюда следует, что вклад в неупругое сечение рассеяния парциальной волны не может превосходить причем это значение не может быть достигнуто, если нет столь же большого упругого вклада.

Применим это к случаю большой черной сферы радиуса много большего длины волны. В этом случае в хорошем приближении, парциальная волна соответствует классическому движению с прицельным параметром Следовательно, в этом классическом пределе можно ожидать, что для всех парциальных волн с соответствующих движению, при котором частица сталкивается со сферой, будет максимальное поглощение, т. е. наибольшая неупругость, а при поглощения не будет.

В действительности из-за квантовых эффектов переход будет не резким, а размытым по некоторым значениям I. Если достаточно велико, это несущественно. Следовательно, в этом случае неупругое сечение рассеяния

должно быть порядка

чето представляется вполне разумным, так как совпадает с геометрическим сечением сферы. Однако учитывая сказанное выше, заключаем, что существует упругий вклад, равный неупругому.

На первый взгляд — совершенно неожиданный вывод. Действительно, при столкновенич двух классических объектов вроде биллиардных шаров или снежков (даже самые лучшие биллиардные шары за счет трения диссипируют некоторую энергию, так что, строго говоря, столкновение никогда не бывает упругим) кроме ожидаемого неупругого сечения рассеяния будет еще сечение, совпадающее с геометрическим размером и обязанное упругому рассеянию.

Чтобы понять это, отметим, прежде всего, что предсказанное упругое рассеяние сконцентрировано внутри малого телесного угла вокруг направления вперед. Амплитуда упругого рассеяния на угол есть

Согласно предыдущему рассуждению, амплитуды А первых слагаемых чисто мнимые, причем их мнимые части положительны. Следовательно, все члены, дающие вклад в А (0), софазны и складываются. Однако при ненулевых значениях угла полиномы Лежандра осциллируют. Угол, при котором впервые обращается в нуль, порядка Для углов, больших сумма (1.2.7) будет содержать большое число членов противоположных знаков и можно ожидать, что она будет пренебрежимо мала. (Это можно доказать.) В этих условиях упругое рассеяние может наблюдаться только при углах порядка где X — длина волны; любая грубая оценка для биллиардных шаров или других макроскопических объектов показывает, что такое наблюдение не может быть осуществлено практически.

Физическую природу упругого рассеяния можно уяснить путем следующего рассуждения. В случае падения волны на большую поглощающую сферу, такую, как на рис. 1.2, позади сферы должна быть тень,

сечение которой равно геометрическому сечению сферы. Тень распространяется на некоторое расстояние, за которым из-за дифракции волны заполняют область геометрической тени. Но в теории рассеяния полная волновая функция для упругого канала записывается как

где Ф — по-прежнему падающая волна, а — рассеянная волна. Позади сферы, в тени, волновая функция должна исчезать. Для этого требуется, чтобы второй член в (1.2.8) был равен по модулю и противоположен по знаку первому. Такое соотношение выполняется по всей ширине тени, и, следовательно, поток, связанный с волновой функцией равен падающему потоку, проходящему через эту площадку. Это объясняет, почему поток, связанный с волновой функцией определяется числом падений на площадку, равную геометрическому сечению сферы.

1.2. Теневое рассеяние

Однако, если начать с классической ситуации, нам все еще трудно будет согласиться, что тень будет соответствовать истинному рассеянию. Из общей теории рассеяния следует, что нечто иное, а не падающая волна формирует ту часть рассеянной волны, которая на больших расстояниях дает вклад в асимптотическое выражение для расходящейся волны.

Важно помнить, что в данной ситуации асимптотическое поведение достигается только на очень больших расстояниях. Мы видели выше, что в упругой волне углы рассеяния порядка Это означает, что в

асимптотическую часть дают вклад только малые углы а так как изначально все парциальные волны когерентны на ширине то они не могут достичь своего асимптотического значения на расстояниях, меньших или, примерно, Следовательно, если мы захотим подтвердить предсказанное рассеяние для случая биллиардных шаров, потребуется не только прибор, способный измерять чрезвычайно малые углы отклонения, но и сами измерения надо будет проводить на расстояниях, превышающих астрономические.

Оправившись от первоначального удивления, заметим, что теневое рассеяние вполне может найти практическое применение при менее экстремальных условиях. Если частицы с большим импульсом рассеиваются, например, на ядрах, часто встречаются случаи, когда велико, так что наши рассуждения применимы. В этом случае, однако, значения не чрезмерно велики, а углы рассеяния не исчезающе малы. К тому же расстояние, на котором проводится наблюдение, в этом случае гораздо больше так что это явление обычно трактуется как малоугловое рассеяние, а не как тень.

Историческая справка. Оптическая теорема и теневое рассеяние были впервые отмечены автором в связи с работой над совместной с Н. Бором и Г. Плачеком статьей, которая так и осталась неопубликованной, однако часто цитировалась.