2.3. Основное состояние системы 2n-фермионов (одномерный случай)

При обсуждении предыдущего раздела было отмечено, что не существует общих теорем, определяющих порядок энергетических уровней для системы, состоящей из более чем двух электронов. Тем более удивительно обнаружить, что в частном случае частиц, движущихся в одном измерении, можно доказать, что при четном числе частиц в основном состоянии система имеет спин, равный нулю. Этот неожиданный результат был получен Либом и Маттисом Приведем краткое изложение их идеи.

Рассмотрим одинаковых фермионов в одном измерении, расположенных для определенности на конечном отрезке Они произвольно взаимодействуют, и потенциал взаимодействия зависит только от положения частиц, но не от их спина.

Без потери общности можно рассматривать ситуацию, при которой проекция полного спина в направлении равна нулю, так как это возможно для любого целого спина — от нуля до . Тогда электронов должны иметь положительную проекцию спина а остальные электроны — отрицательную. Можно дополнительно предположить, что частицы с 1-й по имеют спин 1-й по Зная волновую функцию для этой ситуации, можно вычислить ее для любого другого расположения спинов, исходя из полной антисимметрии.

Идея Либа и Маттиса заключается в том, чтобы рассмотреть более ограниченную область конфигурационного пространства, для которой выполняются

неравенства

(никакие ограничения не накладываются на местоположение произвольной частицы с по отношению к любой частице с ). Зная волновую функцию в подпространстве, задаваемом условиями (2.3.1), можно непосредственно распространить ее на все оставшееся конфигурационное пространство, так как мы можем попасть туда, переставляя частицы с данным значением спина друг с другом. В соответствии с принципом Паули, волновая функция антисимметрична относительно таких замен.

Вариационный принцип снова можно записать в форме (2.2.7), но легко заметить, что для пробной функции Ф, подчиняющейся принципу Паули, достаточно вычислить интегралы по подпространству, задаваемому неравенствами (2.3.1). Так как каждое из подпространств, получающееся из данного путем перестановок, дает тот же вклад, их суммарный учет сводится к умножению числителя и знаменателя на

Внутри подпространства можно выбрать функцию Ф произвольно, учитывая, однако, что для того, чтобы иметь возможность продолжать ее антисимметрично и непрерывно, мы должны потребовать исчезновения Ф на всех границах в неравенствах (2.3.1), в частности, когда координаты каких-либо двух частиц с одинаковыми проекциями спина совпадают.

Теперь ясно, что в пределах этого подпространства применима наша теорема о безузельном основном состоянии. Нам известно, что внутри указанного подпространства собственная функция, соответствующая наинизшей энергии, узлов не имеет (узлы, требуемые принципом Паули, образуют границы подпространства). Мы также знаем, что собственная функция, соответствующая суммарному спину полностью симметрична относительно координат всех частиц с противоположными проекциями спинов (т. е. относительно любых перестановок внутри подпространства), тогда как функция, соответствующая суммарному спину , должна содержать добавочные узлы. (Если последнее утверждение не представляется очевидным, рсдоаднцте; что, например, собственная функция со

спином может быть получена применением оператора поворота спина к функции со спином которая имеет спин вверх и спин вниз. Последняя функция, таким образом, должна быть антисимметрична относительно координаты, а спиновое вращение не влияет на орбитальную симметрию.)

Так доказывается утверждение, сформулированное в начале раздела. Очень неожиданно, что такой общий результат может быть получен так просто. Однако этот результат представляет чисто академический интерес, так как он принципиально ограничен одним измерением. И это разумно, потому что только в одном измерении мы можем так определить подпространство, чтобы все остальное конфигурационное пространство могло быть получено из данного путем перестановок и чтобы его границы были составлены из точек, в которых две координаты совпадают, так что волновая функция должна обращаться в нуль. В случае двух или более измерений две частицы можно поменять местами, переставляя их друг с другом без совмещения где-либо. Если волновая функция антисимметрична, то при движении вдоль такого контура она должна изменить знак и, следовательно, иметь где-то узел. Но предсказать, где будет находиться этот узел — невозможно. Поэтому схема, использованная для отделения добавочных узлов от минимального числа, требуемого принципом Паули, работает только в случае одного измерения. К тому же это утешительно с точки зрения существования ферромагнетизма.