5.3. Теория возмущения в транспортных явлениях

Часто при исследовании транспортных явлений рассматривают системы со многими степенями свободы, которые почти независимы, однако связаны взаимодействиями, необходимыми, чтобы обеспечить приближение к состоянию теплового равновесия и конечность коэффициента переноса. Один из примеров тому — обсуждавшаяся в предыдущем разделе теплопроводность неметаллов, где роль взаимодействия играют

аягармонизмы. Другой пример — электропроводность и теплопроводность металлов, где электроны обычно рассматриваются как движущиеся почти свободно, но допускается взаимодействие с фононами, примесями и дефектами.

Во всех этих случаях естественно считать взаимодействие слабым и рассматривать его как малое возмущение. Метод, которым для этого можно воспользоваться, состоит в формулировке уравнения Больцмана, например, для числа электронов в данном состоянии Согласно этому уравнению обусловленная взаимодействием скорость изменения имеет следующий вид:

здесь первый член представляет собой число электронов, пришедших в состояние а второй — число электронов, ушедших в результате рассеяния из этого состояния. В каждом из членов этого выражения третий сомножитель обусловлен принципом Паули, представляя собой вероятность того, что конечное состояние не занято. Опять опущены все индексы, кроме волновых векторов, и не отмечена явно зависимость коэффициентов Вин от других степеней свободы, например фононных состояний.

Если взаимодействие слабое, вероятность перехода В может быть выражена в терминах «золотого правила» Ферми:

где обозначает матричный элемент взаимодействия, связывающий электронные состояния к и а также соответствующие состояния фононов или других степеней свободы, — начальная и конечная энергии, включающие энергию электронов и энергии всех остальных степеней свободы, которые могут измениться.

Чтобы оценить границы применимости «золотого правила», надо вспомнить, что оно выводится в зависящей от времени теории возмущений с использованием следующего результата: если изначально система

находилась в состоянии вероятность того, что через время она будет в состоянии есть

где определяется так:

Для любого фиксированного функция зависит от разности энергий начального и конечного состояний Эта зависимость показана на рис. 5.3. Изображенная функция имеет острый максимум высоты и ширины порядка так что площадь под ним пропорциональна точное значение площади под кривой есть Для достаточно больших времен шириной максимума можно пренебречь и в пределе заменить эту функцию -функцией. Это и приводит к «золотому правилу», и для достаточно больших времен не возникает вопроса о его применимости (если допустить, что пренебрежение более высокими степенями взаимодействия всегда возможно).

5.3. Функция отбора возможных значений энергии

Но при применении этого метода для вычисления скорости перехода, которая должна быть использована в уравнении Больцмана (5.3.1), мы не можем рассматривать слишком большие времена Если больше, чем время между столкновениями могут происходить парные соударения и столкновения большей кратности, которые формально соответствуют членам более высокого порядка по и тогда ими нельзя пренебрегать. Итак, должно быть меньше т. Но тогда ширина функции больше, чем Мы, тем не менее, можем пренебречь ее шириной, если на этой ширине изменение с энергией двух множителей в уравнении

Больцмана мало. Однако функция распределения несомненно, заметно изменяется, когда энергия меняется на Поэтому кажется, что обычное рассмотрение основывается на условии

При нарушении этого условия, казалось бы, нельзя быть уверенным в точном сохранении энергии при переходе. Это не подразумевает, что может быть нарушен закон сохранения энергии, но этот закон применим к полной энергии, включающей слагаемые, описывающие взаимодействие. При обычных столкновениях изолированных тел энергия взаимодействия обращается в нуль до и после столкновения, и тогда закон сохранения энергии применим к невозмущенным энергиям, что и выражается -функцией в «золотом правиле». Но если время между столкновениями меньше продолжительности одного столкновения, взаимодействием никогда нельзя пренебречь, и никогда закон сохранения не может быть применен к невозмущенным энергиям. Выполнение условия (5.3.5) подразумевает, что есть уверенность: столкновение полностью закончилось и энергия взаимодействия стала меньшей Однако для этого необходимо время, большее

Далее, для ряда металлов оценка сравниваемых в (5.3.5) величин показывает, что они одного порядка — иногда больше одна величина, иногда — другая. Другими словами, это неравенство никогда как следует не выполняется, а часто — сильно нарушается. Возникает впечатление, что электронная теория металлов основывается на очень зыбком фундаменте. Это неожиданное подозрение относительно надежного метода было опровергнуто еще более неожиданной аргументацией Ландау.

Он спас положение по крайней мере для тех случаев, когда при взаимодействии энергия электрона не меняется. Очевидно, это относится к рассеянию на примесях и дефектах решетки, поскольку они настолько массивнее электрона, что при столкновении можно пренебречь их отдачей. Это также применимо к взаимодействию с фононами при температурах выше температуры Дебая 0. При электрон - фононном взаимодействии основным процессом является процесс, при котором рождается или уничтожается фонон. Но определяется как максимальная энергия акустического

фонона, так что при температурах выше 0 энергия фонона меньше а изменение энергии на величину, меньшую статистически несущественно. Если не учитывать квантовых эффектов, электрон чувствует беспорядок, вызванный колебаниями решетки, как статическое препятствие (как световые волны, в соответствии со сделанным в разделе 5.2 замечанием).

В случае статического потенциала можно представить себе, что для некоторой энергии Е имеется решение уравнения Шредингера для электрона в поле нерегулярного потенциала. На практике нам никогда не удается выписать это решение, но в принципе оно существует. Оно учитывает все неупорядоченности, являющиеся причиной рассеяния, и поэтому во внешнем поле возникает конечный электрический ток. Если взаимодействие достаточно слабое, решение может быть разложено в ряд по степеням взаимодействия (следовательно, по степеням Предел, при котором ряд сходится настолько быстро, что первый член оказывается доминирующим, должен зависеть от но не может сводиться к условию (5.3.5), поскольку температура еще не упоминалась. Ландау пришел к заключению, что на самом деле должно выполняться условие

В металле, число электронов которого велико, токи, вызванные различными электронами, складываются и, поскольку основной вклад дают электроны с энергиями, близкими к энергии Ферми, суммарный эффект должен привести к замене условия (5.3.5) на неравенство

где — энергия Ферми. Это условие хорошо выполняется для всех металлов; могут быть сомнения относительно полупроводников и полуметаллов,

В случаях, когда передача энергии существенна, нельзя использовать вывод Ландау и, следовательно, нельзя показать, что не обязательно выполнение ограничительного условия (5.3.5). Однако имеется лишь небольшое число случаев, когда это может привести к затруднениям на практике.

Наше описание уравнения Больцмана и способа, которым Ландау разрешил возникшее затруднение, теперь покажется старомодным: в современных

изложениях вопроса склонны использовать гораздо более утонченный язык. Тем не менее и там приходят к условию, эквивалентному условию Ландау, если не ограничиваются только выписыванием разложения в ряд без выяснения скорости его сходимости.

В этой задаче окончательный результат можно сформулировать так: безыскусный подход, не претендующий на достаточно глубокое исследование вопроса, в большинстве случаев дает правильный ответ, а сомнения, возникающие при более тщательном рассмотрении, в конечном счете оказываются необоснованными. Это — одна из нередких ситуаций, которые Паули любил называть «законом сохранения небрежностей»,