1.5. Адиабатическое разложение

Рассмотрим квантовую систему, гамильтониан которой содержит параметр медленно изменяющийся во времени. Этот параметр, например, может быть медленно меняющимся внешним электрическим или магнитным полем. Требование «медленного» изменения подразумевает, что изменение во времени не приводит к существенному изменению гамильтониана за время порядка характерного времени системы при постоянном

В этом случае удобно ввести собственные функции и собственные значения гамильтониана рассматривая как параметр:

Здесь означает набор всех независимых переменных задачи. Теперь разложим по собственным функциям гамильтониана зависящее от времени решение уравнения Шредингера:

Подставляя это выражение в зависящее от времени уравнение Шредингера, находим

где

— матричный элемент.

Можно, как обычно, исключить первый член в правой части (1.5.3), положив

с некоторым произвольным нижним пределом интегрирования. Тогда

Коэффициенты очевидно, не зависят от времени, если/постоянно, и изменяются только за счет изменения причем система остается в исходном квантовом состоянии и только фаза меняется согласно (1.5.5). В этом — содержание адиабатической теоремы.

Для получения следующей поправки представляется разумным считать коэффициенты в правой части (1.5.6) постоянными, поскольку скорость их изменения пропорциональна малой величине уравнение они входят умноженными на Тогда, полагая для определенности, что в момент система находилась в начальном состоянии, в описанном приближении получим

что сводит задачу к квадратурам.

В большинстве приложений практический интерес представляет определение вероятности того, что, после

прекращения действия поля, система окажется в некотором состоянии . В этом случае требуется вычислить интеграл (1.5.7) по всем значениям . Для медленно меняющегося поля этот интеграл может быть чрезвычайно мал, экспоненциально убывая в зависимости от характерного времени изменения параметра адиабатичности

В качестве иллюстрации рассмотрим случай гармонического осциллятора в зависящем от времени электрическом поле. Тогда

Собственные функции основного и первого возбужденного состояния таковы:

так что

Следовательно, матричный элемент определенный выражением (1.5.4), отличен от нуля, если только Уровни энергии равны

Для системы, находящейся в основном состоянии при уравнение (1.5.7) теперь принимает вид

Выберем, для примера,

Вероятность нахождения системы в первом возбужденном состоянии после прекращения действия поля есть Интегрируя (1.5.9) по времени от до находим

Важно то, что эта величина очень мала, если мал адиабатический параметр Действительно, выражение

(1.5.11) убывает быстрее любой степени этого параметра. Но переходя от выражения (1.5.6) к (1.5.7), мы пренебрегаем членами второго порядка, т. е. членами, содержащими Очевидно, ниоткуда не следует, что такие члены малы по сравнению с нашим результатом и могут быть опущены.

Можно подумать, что малость (1.5.11) проистекает из-за выбора гауссовского распределения для Чтобы показать, что это не так, рассмотрим лоренцевское выражение

И в этом случае интегрирование по времени может быть проведено до конца, а именно

Опять получили экспоненциально малую величину.

Трудно найти более надежную оценку вероятности перехода в случае, близком к адиабатическому. Численные расчеты, приведенные в докторской диссертации Дж. Б. Шеффлера Оксфорд), хотя и не исчерпывают вопрос, указывают, что точный ответ, так же как и «приближенный», полученный из (1.5.7), экспоненциально мал, но не обязательно аппроксимируется формулой

Поучительно сравнить эту задачу с аналогичной задачей, для которой в некотором специальном случае ответ известен. Это одномерная задача о частице, проходящей через пологий барьер или яму, когда потенциал медленно меняется по сравнению с длиной волны.

Запишем уравнение Шредингера для этой задачи в виде

где — волновое число, а и отличается от потенциальной энергии множителем Тогда

где

— показатель экспоненты, встречающейся в ВКБ - приб лижении.

Если бы в (1.5.15) коэффициенты были постоянны, как раз получился бы главный член ВКБ - приближения, а при условии, что функция Ф действительна при любых значениях т. е. при потенциале барьера, меньшем энергии частицы, в этом приближении отражение отсутствовало бы. Для улучшения приближения разрешим коэффициентам меняться с изменением Определение (1.5.15) не задает их однозначно, и, для удобства, можно потребовать, чтобы

Тогда из уравнения Шредингера и наших определений находим

Можно исключить первый член в правой части каждого из этих уравнений, положив

Константы соответствуют второму порядку ВКБ - приближения — все еще без отражения. Подставляя (1.5.17) в (1.5.18), находим

Структура этих уравнений очень сходна со структурой уравнений (1.5.6) для того случая, когда существенны только два уровня. Правда, в данном случае, если состояния не вырождены, можно выбрать собственные функции действительными, и тогда из (1.5.4) получим Это приводит к паре уравнений с противоположными знаками. Однако не похоже, что это приведет к большому различию в поведении решений.

Для уравнения (1.5.14) точное решение задачи об отражении при потенциале

дано в «Квантовой механике» Ландау и Лифшица Ими получен коэффициент прохождения частицы через потенциальный барьер:

Нас интересует адиабатический предел, при котором отношение велико. Сохраняя главный член, находим коэффициент отражения

Если в добавление к предположению о малости мы примем, что также малая величина, то выражение для упрощается:

Если, с другой стороны, систему (1.5.20) решать аналогично (1.5.7), то надо выбрать начальную амплитуду постоянной и равной единице, а найти — амплитуду отраженной волны. Если опять предположить, что значение мало, так что знаменатели в а функция Ф в экспоненте оказывается равной то и совпадает с (1.5.24).

Таким образом, в этой частной задаче первый член адиабатического приближения дает правильный ответ, если потенциал медленно меняется и мал. Пригодность адиабатического приближения более проблематична, если потенциал не мал, и неизвестно, будет ли ответ по-прежнему правильным. (Это кажется маловероятным, так как, решая уравнения (1.5.20), мы отбросили члены подядка тогда как поправки к (1.5.24) порядка Неизвестно также, является ли обнаруженное

совпадение характерной особенностью конкретного использованного потенциала или это более общий результат.