6. ЗАДАЧИ МНОГИХ ТЕЛ

6.1. Эффекты выхода за энергетическую поверхность при многократном рассеянии

Стандартная задача теории рассеяния — определить амплитуду рассеяния при заданном потенциале взаимодействия между падающей частицей и мишенью. Есть, однако, много случаев, когда интересуются обратной задачей — нахождением потенциала взаимодействия по наблюдаемому рассеянию. Так обстоит дело, например, в ядерной физике, где взаимное рассеяние нуклонов является важным источником информации о нуклон-нуклонном взаимодействии. Одна из трудностей анализа этой задачи состоит в том, что эксперименты по рассеянию определяют только дифференциальное сечение рассеяния, которое содержит квадрат модуля амплитуды или, с учетом спина, сумму квадратов нескольких амплитуд. Величиной, представляющей интерес для теоретика, является сама амплитуда рассеяния.

В данный момент мы не намерены обсуждать методы, используя которые можно по сечению рассеяния и другим экспериментальным данным (поляризация, деполяризация и т. д.) получить информацию об амплитуде рассеяния, а просто предположим, что амплитуда рассеяния известна. Насколько эта величина определяет характер взаимодействия?

Если можно считать, что взаимодействие статическое, т. е. что потенциал взаимодействия зависит только от относительного расположения двух частиц, но не от их относительного импульса, то имеются хорошо известные теоремы, доказывающие, что этот потенциал единствен. Фактически задача его нахождения переопределена. Дело в том, что если нет связанных состояний, знания амплитуды рассеяния любой парциальной волны как функции энергии достаточно, чтобы однозначно определить потенциал, а при наличии связанных состояний потенциал пределен, если известна

амплитуда при всех энергиях непрерывного спектра, а также известны энергии связанных состояний и дополнительных числовых параметров. Знание амплитуды рассеяния как функции энергии и угла дает нам информацию обо всех парциальных волнах, среди которых волны с более высокими орбиталями обычно не имеют связанных состояний (единственное связанное состояние в задаче о двух нуклонах — -состояние), так что, в принципе, любая из них определяет потенциал.

Однако взаимодействие может и не быть статическим. Обычная модель нуклон - нуклонных сил содержит спин - орбитальный член, который зависит от момента, и здесь не исключена более сложная зависимость от импульса. Если не ограничиваться статическим взаимодействием, то амплитуда рассеяния не определяет потенциал однозначно и существует много так называемых «фазово-эквивалентных» потенциалов, которые дают одинаковый сдвиг фаз и, следовательно, одинаковую амплитуду рассеяния. Эту неопределенность часто выражают в такой формулировке: наблюдаемое рассеяние — то, которое происходит на энергетической поверхности, а информации о рассеянии вне энергетической поверхности мы не имеем. Происхождение этой терминологии следующее. Если потенциал известен, уравнение Шредингера определяет волновую функцию относительного движения во всем пространстве. Характер этой волновой функции на бесконечности задается суперпозицией падающей и рассеянной волн, так что эта функция непосредственно имеет отношение к амплитуде рассеяния. Но волновая функция на конечном расстоянии не фиксируется прямо своим асимптотическим поведением.

Теорию рассеяния часто формулируют в импульсном пространстве, где мы имеем дело с фурье - образом волновой функции. При рассеянии частицы с энергией Е в преобразование волновой функции вносят вклады все импульсы, а не только те, которые соответствуют свободной частице с энергией Е:

где — приведенная масса относительного движения. Сферу в -пространстве, определенную условием (6.1.1), называют энергетической поверхностью а все

остальные значения не принадлежащими энергетической поверхности.

На больших расстояниях от мишени, на которой происходит рассеяние, взаимодействием можно пренебречь, так что волновая функция ведет себя как волновая функция свободной частицы и, следовательно, имеет длину волны, соответствующую равенству (6.1.1). Поэтому большие дают вклад в фурье - образ волновой функции

с импульсом принадлежащим энергетической поверхности. На этих импульсах фурье - образ волновой функции имеет особенность типа -функции. В случае импульсов, не принадлежащих энергетической поверхности, за счет интерференции вклад в интеграл (6.1.2) от больших расстояний исчезает, а от малых расстояний остается некий конечный вклад.

Для того чтобы наше знание о рассеянии было полным, нужно пополнить информацию, полученную из двухчастичного рассеяния, некоторыми дополнительными данными, относящимися к импульсам вне энергетической поверхности. Подходящим представляется предложение рассмотреть многократное рассеяние, т. е. рассмотреть последовательное рассеяние падающей частицы рядом аналогичных мишеней, расположенных достаточно близко друг к другу, так чтобы волна, рассеянная одной из мишеней, не выходила бы на свое асимптотическое значение перед тем, как достичь следующей мишени. Для этого расстояние между мишенями должно быть сравнимо (или меньше) с длиной волны и с размерами мишени.

В этом случае надо ожидать, что результат будет чувствителен к амплитудам рассеяния при импульсах вне энергетической поверхности. А. М. Баки Бег решил проверить это на некоторой модели двукратного рассеяния. Чтобы иметь возможность контроля, он рассмотрел два фазово - эквивалентных потенциала. Один — статический, а другой с вырожденным ядром, так что в общем выражении для нестатического потенциала

ядро есть произведение, а именно

Статический потенциал был выбран таким, чтобы он обращался в нуль вне сферы радиуса а, тогда фазовая эквивалентность гарантирует, что функция также обращается в нуль вне радиуса а.

Для обеих мишеней расчет был ограничен рассмотрением -рассеяния, которое является преобладающим, если а гораздо меньше длины волны. К всеобщему удивлению результат расчета был таким: двукратное рассеяние не зависит от того, какой из потенциалов выбирается, при условии, что мишени не перекрываются, т. е. что расстояние между ними больше их диаметра .

Этот удивительный результат не выглядел случайностью и наводил на мысль, что для такой тождественности есть некая глубокая причина. Немного подумав, действительно можно обнаружить эту причину. Рассмотрим волну, падающую на первую мишень и рассеянную ею. По амплитуде рассеяния на энергетической поверхности мы знаем асимптотическое поведение волновой функции на больших расстояниях; но мы также знаем, что она удовлетворяет уравнению Шредингера во всем пространстве. Кроме того, мы знаем, что так как взаимодействие ограничено расстояниями, меньшими а, то во всем пространстве вне сферы радиуса а волновое уравнение такое же, как для свободной частицы. Это означает, что волновая функция однозначно определена своим асимптотическим видом.

Другими словами, мы приходим к выводу, что в пространстве вне мишени волновая функция, описывающая рассеяний, определена только амплитудой рассеяния на энергетической поверхности и не зависит от деталей взаимодействия. Это относится к рассеянию одной мишенью. Для двукратного рассеяния нужно принять во внимание дальнейшую модификацию этой волны за счет наличия второй мишени.

Но после первого шага мы точно знаем волнуж падающую на вторую мишень. Можно представить ее как суперпозицию плоских волн, и, по предположению, мы знаем амплитуды рассеяния каждой из них, а суперпозиция этих амплитуд дает полную амплитуду при двукратном рассеянии.

Волновая функция, которая теперь построена, не удовлетворяет волновому уравнению, учитывающему только первую мишень, и, следовательно, должна в дальнейшем модифицироваться, но эта поправка уже является частью не двукратного, а, скорее, трехкратного рассеяния. Мы можем повторить наше рассуждение для тройных столкновений (просто это будет гораздо длиннее и скучнее), а результаты опять окажутся нечувствительными к деталям взаимодействия при рассеянии.

Поэтому ясно, что этот результат является гораздо более общим, чем частная модель, выбранная для расчета, и он применим также к многократному рассеянию любого порядка, если только выполняется необходимое условие отсутствия перекрытия между мишенями.

Вывод поучителен, поскольку если рассеяние, как обычно, анализируется в импульсном пространстве, амплитуды рассеяния с импульсом вне энергетической поверхности (в соответствии с первоначальным предположением) дают заметные вклады, и эти вклады чувствительны к деталям взаимодействия. Дело в том, что фурье - преобразование (6.1.2) включает в себя также интегрирование по области где волновая функция как раз и зависит от характера взаимодействия. Однако, когда все вклады собирают вместе, чтобы достроить амплитуду двукратного рассеяния, эта зависимость исчезает. Интересно заметить, что, пока мы обсуждаем задачу, «оставаясь в импульсном пространстве», исчезновение этой зависимости представляется совершенно таинственным. Наиболее просто понять его физическую природу посредством рассмотрения этой задачи в координатном пространстве; это рассмотрение было проделано выше. Следовательно, один из уроков этого поучительного примера сводится к следующему: не всегда импульсное пространство наиболее удобно, выбор переменных должен быть определен сущностью изучаемого физического явления.

Эта задача имеет некоторое отношение к вопросу, может ли рассеяние нуклонов на ядрах помочь получить информацию об амплитуде нуклон - нуклонного рассеяния вне энергетической поверхности и, следовательно, дополнить информацию, получаемую из опытов по нуклон - нуклонному рассеянию. Строго такое исследование к нашему случаю неприменимо, потому

что нуклон - нуклонные силы не имеют точно ограниченной области действия, и потенциал взаимодействия спадает медленно. «Хвосты» потенциалов взаимодействия от разных нуклонов всегда до некоторой степени перекрываются. К тому же нуклоны внутри ядра не являются статическими мишенями, а находятся в движении, и имеется заметная вероятность, что они подойдут так близко друг к другу, что даже сильные части их потенциалов взаимодействия перекроются. Поэтому теорема Баки Бега не гарантирует, что нуклон - ядерное рассеяние идентично для различных фазово - эквивалентных потенциалов взаимодействия между нуклонами. Однако эта теорема наводит на мысль, что и здесь чувствительность будет гораздо меньше, чем можно было предполагать, и что, следовательно, таким методом установить различие между потенциалами взаимодействия очень сложно.