3.2. Ионизаций

Если система атомов находится в статистическом равновесии при температуре Т, то при условии, что взаимодействие между атомами пренебрежимо мало, вероятность того, что некоторый атом находится в состоянии определяется больцмановским выражением

где, как обычно,

статистическая сумма вычисляется по всем состояниям и включает интегрирование по непрерывному спектру.

При низких температурах, когда основной интерес представляют слабо возбужденные состояния, относительные вероятности заполнения могут быть легко найдены исходя из (3.2.1). Однако даже при низких температурах нельзя получить абсолютные значения вероятностей, так как статистическая сумма, даваемая выражением (3.2.3), расходится. Это справедливо даже для вклада, обязанного дискретному спектру. Например, в водороде с учетом спина существует состояний, каждое из которых имеет энергию

где — постоянная Ридберга. Собственные значения энергии стремятся к нулю при больших так что дискретная часть статистической суммы расходится как Вклад непрерывного спектра делает расходимость еще более сильной.

С некоторым удивлением мы должны сделать вывод, что вероятность данному атому находиться в основном состоянии или в каком-либо другом определенном состоянии равна нулю. Чтобы почувствовать это количественно, рассмотрим атом внутри конечного объема, скажем, сферы радиуса а. Тогда состояния, с радиусами орбит гораздо меньшими, чем а, будут иметь ту же энергию, что и в свободном пространстве, а состояния с радиусами гораздо большими, чем а, совсем не будут существовать. Так как средний радиус орбит есть где — боровский радиус, можно правильно оценить порядок величины суммы, обрезая ее на

значениях что для больших а дает значение суммы, равное . С другой стороны, легко видеть, что в том же пределе вклад непрерывного спектра есть величина, пропорциональная объему, т. е. Таким образом, в реально большом объеме преобладающим состоянием электрона должно быть состояние с положительной энергией — атом ионизован.

Если мы действительно рассматриваем один атом в бесконечном объеме, то это с физической точки зрения правильный ответ, так как ионизационное равновесие зависит от доступного атому объема. Это ясно из рассмотрения скоростей ионизации и рекомбинации, которые в равновесии должны быть сбалансированы. При любом механизме скорость ионизации не зависит от объема, в то время как скорость рекомбинации зависит от вероятности встречи электрона с ядром, а эта вероятность обратно пропорциональна объему.

В практических задачах мы гораздо чаще имеем дело с большим числом атомов в большом объеме при конечной, хотя, возможно, и малой, плотности. В этом случае можно использовать собственные состояния свободных атомов, только если их радиусы меньше среднего расстояния между атомами; не нужно для каждого атома учитывать состояния с большими радиусами, так как они перекрываются с состояниями в других атомах и фактически описываются состояниями других атомов, которые также будут учтены. По тем же соображениям не нужно учитывать непрерывный спектр каждого атома, так как это также привело бы к многократному учету одних и тех же состояний. При малых плотностях непрерывный спектр может быть заменен спектром электронов, движущихся в свободном пространстве. И, наконец, следует учесть взаимное отталкивание электронов, которое означает, что энергия связи электрона в атоме существенно уменьшается, если там уже есть другой электрон.

Детальное рассмотрение этого вопроса, изложенное очень ясно (например, в книге Ландау и Лифшица, показывает, что при тех температурах, при которых газ еще не полностью ионизован, вероятность возбуждения атома пренебрежимо мала, так что мы имеем дело с атомами в основном состоянии, ионами (т. е. для

водорода — с голыми протонами) и свободными элек тронами. Состояние равновесия может быть найдено обычными методами определения равновесия при реак циях. Приведенный Ландау и Лифшицем результат представлен для водорода в следующем виде: степень ионизации, т. е. отношение числа ионов к общему числу ядер, есть

где Р — давление, — масса электрона. Мы снова убеждаемся, что в бесконечном объеме при конечном числе атомов, когда давление равно нулю, при любой температуре имеется полная ионизация.

Историческая справка. Теория термической ионизации была, я думаю, разработана впервые Саха, и этот результат раньше был известен как уравнение Саха. Как уравнение Саха он по-прежнему упоминается астрофизиками, но, за редкими исключениями (пример—цитированный выше отрывок из книги Ландау и Лифшица), имеется тенденция игнорировать его в учебниках. Физики, столкнувшиеся с этой задачей, могут, следовательно, поддаться искушению попасть в ловушку, которая в этом разделе составила предмет нашего «сюрприза».