3.8. Необратимость

Теперь мы займемся одним из самых фундаментальных вопросов статистической механики, ответ на который известен давно, но недостаточно ясен широкому кругу физиков, по-видимому, даже сегодня. Это — вопрос об истинном происхождении необратимости в статистической механике.

Известно, что статистическая механика основывается на уравнениях ньютоновской механики и, там, где это существенно, на максвелловских уравнениях для электромагнитного поля. Все эти законы обратимы во времени в том смысле, что для любого движения, являющегося решением этих уравнений при соответствующих электромагнитных полях, движение, полученное обращением направления времени, т. е. заменой t на - t, является тоже возможным решением. При построении

этого обращенного движения надо, конечно, изменись знак всех скоростей и одновременно знак магнитного поля. Другими словами, в законах механики и электромагнетизма не делается различия между прошлым и будущим.

Тем не менее мы также знаем, что статистическая механика приводит к известным всем законам термодинамики, включая второй закон, который утверждает, что энтропия любой изолированной системы не может убывать:

Конечно, этот закон несимметричен во времени: если поменять местами прошедшее и будущее, энтропия будет иметь тенденцию к уменьшению. Каким образом из обратимых уравнений получается явно необратимый результат?

Аналогичный сюрприз встречается также и в квантовой механике. Зависящее от времени уравнение Шредингера, играющее в этом случае роль законов механики, допускает решение, в котором время обратимо при условии, что волновая функция заменяется на комплексно - сопряженную, что соответствует обращению всех скоростей. Язык квантовой механики по необходимости существенно более сложен, чем язык классической физики. В связи с этим мы ограничимся обсуждением случая необратимости в классической статистической механике, в которой ясно виден рассматриваемый парадокс.

Обсудим типичную необратимую ситуацию. Возьмем камеру, разделенную на два отсека перегородкой с соединительным окошком, которое может быть закрыто или открыто. Вначале, в момент времени давление газа в обоих отсеках различно: один отсек содержит а другой молекул одного и того же газа. Если все остальные переменные поддерживаются постоянными, энтропию, достигающую максимума при равных плотностях, можно использовать как меру распределения газа по отсекам. (Фактически соотношение таково: но оно нам не понадобится.) Если теперь оценить энтропию, используя законы механики при соответствующих предположениях о неупорядоченности состояний в статистической механике, то получится, в согласии со вторым

законом термодинамики, результат, схематически изображенный сплошной кривой на рис. 3.2.

3.2. Временная зависимость энтропии для газа в разделенной на два отсека камере; в момент времени в отсеках заданы различные плотности. Сплошная кривая — истинная зависимость, штриховая — гипотетическое поведение в прошлом

В некоторых учебниках этот парадокс объясняют, ссылаясь на то, что, тогда как механика предсказывает движение отдельных частиц, в статистической механике возможны только вероятностные утверждения о поведении больших ансамблей частиц. Это верно, но не объясняет, почему использование теории вероятности и статистики должно создать различие между прошлым и будущим, которого до этого не было.

Истинный ответ совсем другой. Предположим, что начиная с момента времени когда частицы беспорядочно распределены внутри каждого из отсеков и двигаются в случайных направлениях, мы следим за траекториями частиц не для положительных значений времени а для отрицательных, т. е. в прошлом. Для энтропии это дает зависимость, изображенную штриховой кривой на рис. 3.2 и являющуюся зеркальным отображением сплошной кривой справа.

Видно, что при таких вычислениях симметрия относительно обращения времени полностью сохраняется. Однако сплошная кривая справа описывает практически реализующуюся ситуацию и поэтому дает ответ на реалистичный вопрос, тогда как кривая слева таковой не является. Эта кривая могла бы быть применима к следующей ситуации: условимся, что при частицы в заданном количестве распределены по двум отсекам, их координаты в каждом из отсеков случайны, а скорости подчиняются распределению Максвелла — Больцмана. Гарантируем, что до момента времени , по крайней мере в конечном интервале времени от до не было внешнего воздействия, и

рассмотрим ситуацию при Очевидно, такая постановка задачи недопустима: единственный способ, которым мы можем повлиять на распределение молекул при воздействовать на систему до этого момента времени.

3.3. То же самое, что и на рис. 3.2, но для небольшого числа молекул, так что флуктуации не малы

Таким образом, видно, что асимметрия появляется не вследствие законов, управляющих движением, а благодаря граничным условиям, которые мы налагаем для точного определения рассматриваемого вопроса. Ситуации, с которыми имеют дело на практике, описываются начальными условиями, соответствующими правой части рис. 3.2. Конечным условиям, которые получаются из начальных обращением времени, соответствует левая часть рис. 3.2; последнее не может иметь отношения к действительности.

По сравнению с макроскопической ситуацией, рассмотренной выше, положение существенно не меняется, если мы рассматриваем систему с малым числом молекул. В этом случае нельзя пренебрегать флуктуациями и для заданного состояния при система может развиваться во времени несколькими различными путями. Возможно, например, что при некоторая часть небольшого числа молекул в отсеке окажется около окошка и пройдет через него. Тогда число молекул еще больше уменьшится, соответственно увеличится, так что мы сможем наблюдать временное уменьшение энтропии. Правая часть рис. 3.3 иллюстрирует несколько возможных кривых, которые можно ожидать в этом случае. Как правило, каждая отдельная кривая, если ее продолжить в отрицательные времена, не будет симметричной, но ее зеркальное отображение описьщет другое столь вероятное поведение

системы. Опять только правая часть рис. 3.3 представляет встречающиеся на практике ситуации для заданного состояния системы при .

Имеется, однако, одно различие между макроскопической системой и системой, содержащей небольшое число молекул. Из общих положений статистической механики известно, что предоставленная сама себе система, содержащая небольшое число молекул, проводит основную часть времени вблизи равновесного значения параметров, т. е. вблизи состояния с максимальной энтропией, но будут проявляться и случайные флуктуации — состояния с более низкой энтропией. Если при нам предъявлена наша «двухкамерная» система с различными плотностями в отсеках и оговорено, что по крайней мере в предшествующий период времени протяженностью Т система не испытывала воздействий, то резонно предположить, что различие плотностей связано с флуктуациями. Тогда в этом случае мы должны описывать систему одной из кривых рис. 3.3, используя правую и левую ее части. Здесь возможны кривые, опускающиеся ниже фиксированного значения энтропии при как для положительных, так и для отрицательных времен, но вероятность флуктуации будет быстро уменьшаться с ростом ее амплитуды, так что среди возможных кривых число кривых, опускающихся значительно ниже значения энтропии при очень мало. В этой интерпретации обе части рисунка применимы, и в выводах также нет необратимости.

Для макроскопической системы такая интерпретация недопустима. В литре воздуха при нормальном давлении и температуре даже за астрономические времена не происходит флуктуации, при которой плотность в одной из половин камеры отличалась хотя бы на процент. Поэтому совершенно нет оснований приписывать флуктуациям значительное различие в плотностях. В этом случае гораздо более приемлема гипотеза, по которой до момента времени —71, после которого, как мы знаёк, система не испытывала возмущающего воздействия, кто-то открывал окошко, и тогда плотности различались еще больше. В этом случае нужно нарисовать кривую типа изображенной на рис. 3.4, которая действительно несимметрична во, времени. Но, кроме того, очевидно, что помимо статистической механики, мы так же еосдользовлись заранее составленным

представлением о том, какое вмешательство человека могло бы быть ответственно за неравновесное состояние системы при

3.4. Предположительное поведение энтропии, если предыстория системы неизвестна

Можно попытаться проанализировать проблему немного глубже, задавая вопрос, почему происходит так, что мы легко можем поставить эксперимент, в котором созданы точно определенные начальные условия, но это невозможно для конечных условий. В этом есть реальное различие между прошлым и будущим. Немного подумав, понимаем, что это связано с тем обстоятельством, что прошлое мы можем запомнить и можем строить планы на будущее, но не наоборот. Очевидно, что эти утверждения правильны, но они не следуют из каких-либо законов физики.

Можно предположить, что эти факты каким-то образом связаны со способом функционирования нашего мозга, но мы не умеем объяснить природу этой однонаправленности. Конечно, мы не должны пытаться отнести ее за счет некой термодинамической необратимости в клетках мозга, так как это равносильно применению второго закона термодинамики в исследовании, цель которого — понять природу этого закона, что приводит к порочному кругу.

Не во всех исследованиях необратимого поведения" системы следы начальных условий видны так же явно, как в рассмотренном выше примере. Знаменитая -теорема» Больцмана, которая является статистико - механической версией второго закона термодинамики, была доказана путем рассмотрения столкновений молекул в разреженном газе без введения конкретного начального момента времени. Однако оказывается, что больцмановский Stosszahl-Ansatz включает в себя эквивалентное предположение, которое и является ответственным за необратимость.

Чтобы увидеть это, ограничимся рассмотрением так называемого «лоренцевского газа», т. е. газа невзаимодействующих молекул, которые рассеиваются на неподвижных центрах. Для неравновесной ситуации, например при дрейфовом движении, нам требуется знать число молекул, рассеянных за интервал времени из начального состояния (из цилиндра) а, заданного направлением движения, скоростью и, если необходимо, значением каких-то внутренних параметров, в конечное состояние (цилиндр) При таком акте рассеяния дифференциальное сечение на отдельном центре будет

3.5. Больцмановский Цилиндр а содержит молекулы, которые при заданной скорости испытают соударения с мишенью за интервал времени и рассеятся в конечное состояние Цилиндр содержит молекулы, рассеянные из состояния а за время предполагает, что плотность таких молекул в цилиндре а такая же, как и везде в газе, что в результате приводит к отличию плотности в цилиндре от средней

Если мы изобразим, как на рис. 3.5, цилиндр длины с площадью основания нацеленный по направлению начальной скорости на центр рассеяния, то число молекул, рассеянных за время в конечное состояние 6, будет равно числу молекул, содержащихся в цилиндре а изначально. Следовательно, можно записать число рассеянных молекул в виде

где — плотность молекул в указанном цилиндре. Далее, больцмановский Stosszaht-Ansatz заключается в кажущемся безобидным предположении, что равно средней плотности молекул по всему газу, т. е. что определенный нами цилиндр никоим образом не выделен.

Это предположение — источник необратимости, потому что если оно справедливо, оказывается несправедливым соответствующее утверждение относительно цилиндра, отмеченного на рис. 3.5 буквой Единственное специфическое обстоятельство, связанное с цилиндром а, это то, что он содержит молекулы, которые должны столкнуться с рассеивающим центром; цилиндр

содержит те молекулы, которые уже йспыталй столкновение. В неравновесных условиях например при наличии дрейфового движения в направлении оси цилиндра а, в газе, как целом, будет больше молекул, движущихся в направлении а, чем в направлении Поэтому рассеяние на центре должно привести к увеличению числа молекул, двигающихся в направлении оси цилиндра Если такое же, как везде в газе, тогда плотность должна превышать среднюю.

Если описанный выше процесс рассеяния сравнить с обратимой во времени ситуацией, то различие становится очевидным. Чтобы обратить направление времени, нужно каждую молекулу в цилиндре заменить другой с противоположной скоростью, и после этого эти молекулы должны рассеяться на мишени так, чтобы двигаться в направлении, противоположном направлению а. Число их не изменится, и, если плотность в цилиндре отличается от средней по всему газу, она будет отличаться также от той, которую мы, вместе с Больцманом, должны принять для обратного процёсса.

Интуитивно кажется очевидным, что на молекулы не оказывает влияния тот факт, что они должны столкнуться, и совершенно естественным представляется то обстоятельство, что на них должно воздействовать только что происшедшее столкновение. Но те предположения, которые являются причиной необратимости, не очевидны. Если мы, однако, предположим, что в прошлом состояние газа каким-то образом было приготовлено, а то, что мы наблюдаем, есть последующее развитие во времени этого состояния, тогда отсюда следует, что корреляция между молекулами и центрами рассеяния будет являться результатом лишь столкновений, происшедших в прошлом, но не в будущем. Это показывает, что, в принципе, ситуация по-прежнему такая же, как в задаче о двух отсеках.

Итак, выяснено происхождение необратимости в вопросах, которые мы ставим перед статистической механикой, и видно, что отсутствие симметрии возникает из-за ограниченности экспериментов, которые можно выполнить. «Стрела времени» оказывается свойством нашего мозга. До тех пор, пока у нас нет ясного объяснения этого ограничения, можно делать предположения, является ли направление времени непременно универсальным или можно представить себе разумные существа, для которых время течет в направлении,

противоположном нашему, так что, с нашей точки зрения, они помнят будущее и строят планы на прошлое. Интуитивно такая ситуация кажется совершенно нелепой, но один из уроков физики двадцатого века и состоит в том, что не всегда можно полагаться на интуицию.

Даже с такой оговоркой сделанное предположение не представляется привлекательным. Во всяком случае можно быть уверенным, что, если такие люди существуют, у нас нет возможности общаться с ними, так как общение обязательно включает в сёбя возможность спрашивать и получать ответы, а они должны будут отвечать на наши вопросы раньше (с нашей точки зрения), чем эти вопросы будут заданы.

До сих пор обсуждались вопросы, относящиеся ко всем аспектам статистической механики, основанным на результатах экспериментов, которые можно провести в лаборатории. Но этим тема не исчерпывается. Вокруг нас, во вселенной, идет множество термодинамических процессов, которые подчиняются второму закону, но на которые наши действия никоим образом повлиять не могут. Так как вопрос о применимости второго закона ко всей вселенной можно сформулировать на языке полной энтропии вселенной как целого, иногда возникает замешательство: применим ли здесь этот закон? Этот подход чреват осложнениями, так как нет уверенности, конечна ли вселенная и, кроме того, нет однозначной точки зрения на поведение термодинамических величин при преобразовании Лоренца, так что могут возникнуть сомнения при оценке энтропии быстро движущихся тел.

Но можно разобраться в этом вопросе гораздо проще, рассматривая только локальное поведение. На солнце и даже на земле в областях слишком больших, чтобы на них могло повлиять вмешательство человека, все коэффициенты переноса имеют привычные знаки. Тепло передается от более горячего к более холодному телу, трение приводит к появлению силы, направленной так, чтобы с течением времени уменьшалась разность скоростей, при диффузии компоненты смеси движутся так, что со временем градиент концентрации уменьшается. Все эти процессы протекали бы в обратном направлении, если бы течение времени изменилось на обратное.

Наших предыдущих рассуждений, очевидно, не достаточно для того, чтобы объяснить этот аспект стрелы времени. Некоторые авторы предполагают, что направление

течения времени каким-то образом связано с расширением вселенной. Это не очень правдоподобно, так как можно представить себе ситуацию, при которой в космологических законах имеется минимум плотности, так что на каком-то этапе расширение окончится и вселенная начнет сжиматься. Вероятно, истинное поведение вселенной не таково, но, по-видимому, это предположение не противоречит фундаментальным законам физики. Кажется еще менее вероятным, что такое изменение будет причиной какой-либо перемены термодинамических свойств тел во вселенной.

Следовательно, требуется особый постулат, чтобы решить вопрос о космической стреле времени. Сравнивая эту ситуацию с обсуждавшимися экспериментами, видим, что вселенная ведет себя так, как если бы ее поведение было результатом гигантского эксперимента, начавшегося в некоторый начальный момент времени с микроскопического хаоса, которому была предоставлена самостоятельность. Такая гипотеза хорошо согласуется с гипотезой о происхождении вселенной в результате «большого взрыва», но это нельзя рассматривать как аргумент в пользу этого варианта космогонии.

Как и раньше, можно задать вопрос: является ли случайностью, что наша собственная стрела времени совпадает с таковой для вселенной, и возможно ли, чтобы они были противоположны? Интуитивно последнее также представляется неприемлемым. Слишком прочно укоренилось в нашем сознании, что причина должна быть раньше, чем следствие. Это часть интуитивного закона причинности, более общего, чем закон причинности, обоснованный в механике или электродинамике. Последний просто означает, что существуют дифференциальные уравнения, описывающие развитие во времени физических величин, так что задание достаточного числа переменных в данный момент времени определяет их значения в будущем. Обычно не обращают внимание на то, что та же информация определяет их значение в прошлом, так что эта форма причинности не делает различия между прошлым и будущим. Хотя в отдельных случаях современная физика показывает, что интуиция может оказаться обманчивой, эта ситуация, возможно, является примером, в котором наша интуиция ведет к всеобщей истине, не содержащейся в основных законах физики (за исключением «выводимого» второго закона термодинамики).

Возможно, надо Отметить, что радй уйрощенйя выбраны только чисто механические примеры и не рассмотрены задачи, включающие излучение. Следовательно, можно спросить, как обычная процедура, в которой предпочтительнее использовать запаздывающие, а не опережающие потенциалы, связана с предметом нашего обсуждения. Несомненно, использование запаздывающих потенциалов является причиной необратимости, включая затухание излучения.

Выбирая запаздывающие потенциалы, мы предполагаем, что на бесконечности нет падающего на систему излучения, кроме заданного в задаче, однако нет ограничений и на уходящее излучение. Это эквивалентно условиям, которые мы налагали в рассмотренных механических задачах, предполагая, что мы приготовили состояние системы при и после этого наблюдали ее развитие. В самом деле, если при начать с того, что излучения нет или имеется какое-то заданное излучение, то в последующие времена обнаружим некоторое излучение, исходящее из системы.

Ситуация несколько меняется, если принять остроумный формализм Уилера и Фейнмана Они использовали симметричную комбинацию запаздывающих и опережающих потенциалов, а затухание, благодаря излучению, обеспечивалось взаимодействием опережающих потенциалов с атомами, в конечном счете поглощающими излучение. Для того чтобы получить тот же результат, который следует из общепринятой теории, им необходимо было предположить, что все излучение, в конце концов, достигает поглощающего тела. Это предположение может привести к затруднениям, если окажется, что материи во вселенной недостаточно для того, чтобы обеспечить поглощение. Однако оставляя полностью в стороне эту проблему, часто не отдают себе отчет в том, что эта теория связывает источник необратимости с поглощающим веществом. Другими словами, при симметричном использовании опережающих и запаздывающих потенциалов для того, чтобы обеспечить наблюдаемое затухание излучения, требуется, чтобы излучение обычным образом взаимодействовало с объектами, подчиняющимися второму закону термодинамики, т. е. чтобы они вели себя необратимо.

Обсуждавшаяся здесь аргументация была представлена в лекции автора на Бирмингемском симпозиуме в 1967 г. Очень близкая точка зрения высказана Р. П. Фейнманом.