2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ АТОМОВ

2.1. Рассеяние «гамма»-лучей

Если атом подвергается действию излучения с частотой, гораздо большей резонансной частоты даже электронов Х-оболочки, доминирующими процессами являются эффект Комптона и фотоионизация. Однако для некоторых целей представляет интерес когерентное рассеяние, при котором атом остается в основном состоянии. Эффективное сечение такого рассеяния довольно мало.

Если для описания электронов в атоме пользуются уравнением Дирака, рассеяние излучения представляет собой двухэтапный процесс, при котором сначала падающий фотон поглощается, а затем испускается вторичный фотон, или наоборот.

Вклад в амплитуду рассеяния первого процесса пропорционален выражению

где — векторы поляризации, — волновые векторы падающего и рассеянного фотонов; у — матрица Дирака, — атомная волновая функция электрона, — волновая функция возбужденного состояния. Суммирование по включает интегрирование по непрерывному спектру. Пока это точный результат, если не заботиться о радиационных поправках, имеющих порядок величины (конечно, при этом надо прибавить аналогичный член, в котором испускание предшествует поглощению).

Для больших к матричные элементы в (2.1.1) определяются в основном сильно возбужденными состояниями с большой положительной энергией. Для этих к

пренебрежение потенциальной энергией и замена состояний непрерывного спектра плоскими волнами представляется правдоподобной аппроксимацией. Такая аппроксимация должна быть особенно хорошей, когда энергия фотона велика, а атом легкий, так что кулоновский потенциал, которым мы пренебрегаем, слаб. Однако этот случай — почти классический пример теоретического сюрприза, потому что оказывается, что полученный таким способом результат для амплитуды рассеяния неправилен, и он становится тем более неправильным, чем больше энергия фотона и чем легче атом.

В самом деле, такое вычисление интегрального члена в (2.1.1) и во втором аналогичном слагаемом правомерно, если пренебречь энергией связи в начальном состоянии по сравнению с энергией фотона. Результат хорошо известен; он обсуждался, например, в статье Брауна и Вудворда в которой впервые был отмечен этот неожиданный момент.

Чтобы проверить аппроксимацию, авторы вычислили также следующий член, получившийся добавлением для промежуточных состояний к плоским волнам первой борновской поправки, обязанной рассеянию свободного электрона кулоновским полем. Для этого случая они нашлй следующее отношение члена первого порядка к члену, полученному при аппроксимации, использующей только плоские волны:

Здесь — переданный импульс. При указанных нами условиях, гораздо больше малая величина. Таким образом, это отношение велико как раз в том случае, для которого мы надеялись, что будет хорошей аппроксимацией. Есля очень велико, а атом не очень легкий, второй множитель — порядка единицы и отношение поправки к «основному члену» пропорционально Для очень легкого атома и не очень больших значений второй член в знаменателе второго сомножителя доминирует и отношение пропорционально

Как всегда, легко проследить происхождение этого неожиданного результата и понять, как его можно

было предвидеть. Дело в том, что «основной член» становится чрезвычайно малым. Действительно, если вместо мы берем плоскую волну с волновым вектором К, матричный элемент, входящий в (2.1.1), включает в себя фурь е-образы атомной волновой функции взятые для волновых векторов . Выбрав К так, чтобы один из этих аргументов был мал, получим, что другой — порядка . В результате интересующая нас величина содержит фурье - образ атомной волновой функции для аргумента . Фурье - образ нерелятивистской собственной функции водорода убывает пропорционально четвертой степени аргумента; если достаточно велико, мы должны использовать релятивистское выражение для «хвоста» волновой функции в импульсном пространстве. Оказывается, тогда фурье - образ убывает приблизительно обратно пропорционально третьей степени волнового вектора.

С другой стороны, беря первую борновскую поправку, мы включаем добавочное рассеяние на кулоновском потенциале, и наибольший вклад дают члены, для которых такое рассеяние происходит с передачей импульса порядка потому что здесь мы по-прежнему имеем дело с фурье - образом при малом аргументе. Процесс рассеяния приводит к появлению в качестве сомножителя фурье - образа кулоновского потенциала, который обратно пропорционален квадрату волнового вектора, т. е. Сравнивая это выражение с зависимостью от импульса, которая включает в себя слагаемые пропорциональные или мы начинаем понимать характер зависимости отношения (2.1.2) от По ходу обсуждения, для простоты, мы остановились только на зависимости от переданного импульса, но так же легко проследить появление степеней и понять происхождение зависимости этого отношения от

Результат можно сформулировать в более физических терминах, как это и было сделано в статье Брауна и Вудворда, заметивших, что изменение импульса в конечном счете обязано атомному ядру. В приближенном выражении для А 0 влияние ядра сказывается только на волновой функции основного состояния и мы, следовательно, имеем дело с флуктуациями импульса, описываемыми этой функцией и обязанными взаимодействию электронов с кулоновским полем. В поправочном члене учитывается обмен импульсом между ядром

и Электроном, находящимся в возбуждённом состоянии. Сравнение показывает, что электрону легче приобрести импульс тогда, когда он находится в состоянии с высокой энергией.

Два члена, обсуждавшиеся здесь, — два первых члена ряда теории возмущений, в котором параметром разложения является отношение атомного потенциала к кинетической энергии промежуточных состояний. Мы не рассматривали члены более высокого порядка, но не вызывает сомнения, что сходимость этого ряда будет хорошей при больших и малых Причина, по которой нельзя пренебречь членом первого порядка, — не плохая сходимость, а чрезвычайно малое значение члена нулевого порядка. Часто случается, что первый член разложения исчезает (например, из-за симметрии), и тогда без колебаний можно обратиться к следующему члену. В данном случае была опасность оказаться застигнутыми врасплох, так как основной член не равен нулю, но меньше следующего.

В связи с когерентным рассеянием -излучения следует вспомнить, что в пятидесятых годах причиной интереса к этому вопросу были выполнявшиеся тогда эксперименты по изучению дельбрюковского рассеяния, т. е. рассеяния излучения кулоновским полем ядер, связанного с рождением виртуальной пары. В таких экспериментах обсуждающееся нами рассеяние электронами атома является частью фона и должно учитываться. Для легких атомов приближение, кратко описанное выше, является адекватным, но для экспериментов представляют интерес самые тяжелые элементы, так как именно они дают наиболее сильное рассеяние Дельбрюка. В этом случае борновский ряд плохо сходится для состояний непрерывного спектра даже при очень высоких энергиях. Следовательно, надо вычислять выражения типа (2.1.1) без приближений.

На первый взгляд это представляется трудным делом, так как прямой подход состоит в нахождении водородных волновых функций для всех дискретных и непрерывных состояний, вычислении матричных элементов и затем выполнении суммирования и интегрирования. Существует гораздо более легкий путь, предложенный для этой цели Брауном, Пайерлсом и Вудвордом Схема этого рассмотрения была, вероятно,

известна и раньше и, конечно, с тех пор много раз переоткрывалась.

Идя по этому пути, запишем (2.1.1) в виде

где включает все, что есть в выражении (2.1.1) в том числе и суммирование по Тогда легко показать, что функция удовлетворяет неоднородному волновому уравнению

где Н — дираковский гамильтониан.

Нет оснований удивляться, что бесконечная сумма по состояниям, представляющая собой второй порядок теории возмущений с учетом электромагнитного взаимодействия, может быть сведена к одному неоднородному дифференциальному уравнению, потому что если вспомнить, как выводится общее выражение теории возмущений в элементарной квантовой механике, то мы увидим, что оно получается из неоднородных уравнений типа (2.1.4). Для удобства обычно раскладывают в ряд по собственным функциям, что приводит к выражению (2.1.1). В данном случае «необработанная» форма (2.1.4) более удобна.

Пока (2.1.4) — трехмерное уравнение, но оно может быть разложено в ряд по собственным состояниям оператора момента, который хорошо сходится, если длина волны не слишком мала в сравнении с радиусом атомной волновой функции . В результате останется система радиальных уравнений, которые удобно решать с помощью вычислительной машины.