3.5. Вариационный принцип для первых N состояний

Если нас интересует не состояние статистического равновесия, а расположение отдельных возбужденных уровней энергии, то обсуждавшаяся в предыдущем разделе теорема не обеспечивает решения задачи. Существует основанное на обычном вариационном принципе неравенство, которое утверждает, что ожидаемое значение

не может лежать ниже собственного значения если пробная функция ортогональна первым собственным функциям:

Обычно это неравенство не может быть использовано, если не известны первые собственные функции. Замена истинных собственных функций приближенными, например, полученными вариационным, методом, может привести к существенной ошибке. Важным исключением является случай гамильтониана, обладающего известной симметрией, и мы ищем наинизшее состояние данного представления той же симметрии. Так как функции разной симметрии автоматически ортогональны, то выбор правильных свойств симметрии для Ф обеспечит ортогональность, требуемую в (3.5.2).

Более удобный путь определения положения нижних границ возбужденных уровней указывает следующая теорема. Пусть — набор ортонормированных функций и

— матричный элемент гамильтониана, построенный на этих функциях. Пусть есть последовательно упорядоченные собственные значения определенной таким

образом матрицы

Тогда каждое служит верхней границей для собственного значения полного гамильтониана:

Существование этой теоремы, о которой автор несколько лет назад узнал от доктора Д. М. Бринка, явилось неким сюрпризом. Ее, действительно, можно найти в математической литературе, но проследить за ходом достаточно сложных доказательств оказалось нелегко. Поэтому еще одним сюрпризом было открытие, что эта теорема может быть доказана очень простым и прозрачным способом.

Рассмотрим сначала случай N = 2. Определим квадратичную форму двух комплексных переменных

Очевидно, равно ожидаемому значению гамильтониана при пробной функции

Хорошо также известна алгебраическая теорема, утверждающая, что значения, которые может принимать при произвольном выборе лежат в интервале

В первую очередь отсюда следует, что можно найти такую функцию Ф, которая обеспечила бы равенство варьируемой величины (3.5.1) значению , в соответствии с обычным вариационным принципом, это значение должно быть больше энергии основного состояния Таким образом, первое из неравенств (3.5.4) ррляется, по существу, просто выражением обычного вариационного принципа.

Чтобы найти верхнюю границу для заметим, что среди пробных функций (3.5.6) можно отыскать одну, ортогональную собственной функции основного состояния. В самом деле, условию

несомненно, можно удовлетворить, подобрав подходящие, одновременно не равные нулю коэффициенты По обобщенному вариационному принципу (3.5.2) ожидаемое значение гамильтониана для этой функции не может лежать ниже , кроме того, вследствие выполнения неравенства (3.5.7), оно не может превосходить Это доказывает нашу теорему для N = 2.

Рассмотрим, далее, случай N = 3. Точно такие же рассуждения, как для N = 2, сразу показывают, что являются верхними границами соответственно для однако для среднего состояния неравенство не столь очевидно. Чтобы доказать его справедливость, сделаем унитарное преобразование функции так чтобы диагонализовать матрицу Такое преобразование не изменяет собственные значения матрицы. В терминах новых функций гамильтониан Н диагонален и в качестве диагональных элементов имеет собственные значения Теперь отбрасываем и у нас остается матрица с собственными значениями Из теоремы для N = 2, которую мы уже доказали, устанавливаем недостающее соотношение:

Теперь ясно, что по индукции можно провести докааательство для любого N.

Практическое применение этих соотношений по-прежнему ограничено, так как часто нас больше интересуют разности энергий, относительно которых данная теорема не дает непосредственной информации.