4.2. Импульс фононов

Хорошо известно, что тепловое движение атомов кристаллической решетки представляет собой колебания решетки, которые с достаточной степенью точности можно считать гармоническими. Кванты такого движения называют фононами, точно так же, как кванты электромагнитного поля — фотонами.

Иногда можно встретить утверждение, что фонон с волновым вектором к обладает импульсом Так как энергия фонона есть — фазовая скорость, это утверждение равносильно заявлению, что отношение импульса фонона к энергии есть величина, обратная фазовой скорости, но это имеет смысл также и в классическом случае. Правильно ли это утверждение?

Пока амплитуда колебаний решетки достаточно мала, чтобы уравнения движения можно было считать линейными, наиболее удобными переменными для этой задачи являются обобщенные координаты которые в одномерном случае мы уже использовали в разложении (4.1.2). В гармоническом приближении эти координаты не зависят друг от друга, а соответствующие амплитуды произвольны. С этой точки зрения импульс есть

где — масса атома. Но последняя сумма обращается в нуль, за исключением случая Это следует

из того, что допустимые значения к таковы, что от одного конца цепочки атомов до другого фаза пробегает большое число периодов. По крайней мере так получается, когда используются циклические граничные условия. Для конечной цепочки нормальные колебания оказываются стоячими волнами, однако они должны быть ортогональны колебанию с которое представляет собой однородное смещение всей цепочки и, таким образом, является возможной нормальной модой нулевой частоты. Следовательно, весь импульс определяется одной модой, которая не является истинно фононной, так как не связана с возвращающей силой, а истинно фононные моды вклад в импульс не дают. То же справедливо в трехмерных системах и для более сложных решеток.

Причина, по которой пытаются приписать фотону импульс та, что имеется нечто вроде закона сохранения для сумм волновых векторов фононов и таких же сумм для электронов, фотонов и других объектов, с которыми они взаимодействуют. Это связано с тем, что величина хотя и не является импульсом, есть то, что часто называют квазиимпульсом.

Его физическая природа имеет отношение к трансляционной симметрии кристалла. Каждый закон сохранения в физике связан с симметрией; сохранение импульса основывается на однородности пространства, т. е. на инвариантности уравнений относительно замены

для любого Если эта инвариантность не имеет места, например, из-за наличия заданной точки приложения силы, импульс не сохраняется.

Сохранение квазиимпульса отражает другую симметрию, а именно инвариантность уравнений при замене, благодаря которой все физические свойства какого-либо элемента среды (механическое смещение, плотность, электрическое и магнитное поля и т. д.) переходят в свойства другого элемента, расположенного на расстоянии

для любой величины Условием такой инвариантности является однородность среды. Различие между (4.2.2) и (4.2.3) в том, что во втором случае среда не передвигается. В отсутствие какой-либо среды, например, для

свободных частиц или света в вакууме нет различия между импульсом и квазиимпульсом.

В случае кристалла замена (4.2.3) оставляет уравнения без изменения, если мы можем пренебречь границами и при условии, что кратно постоянной решетки. Следствием того факта, что смещение не может быть произвольно малым, оказывается то, что квазиимпульс не только сохраняется, но может изменяться на величину вида где — произвольный вектор обратной решетки кристалла. Например, для обсуждавшейся одномерной цепочки атомов определение нормальных координат в виде (4.1.2) не измелится, если к любому из волновых векторов добавить величину, кратную числа, кратные образуют решетку, обратную одномерной решетке кристалла.

Во многих представляющих интерес задачах сохраняется как импульс, так и квазиимпульс. В качестве типичного примера возьмем рождение фонона при рассеянии нейтрона кристаллсм. Если это происходит достаточно далеко от границы, то кристалл однороден и квазиимпульс сохраняется. Пусть начальный и конечный импульс нейтрона Так как нейтрон лишь слабо взаимодействует с веществом, это, по существу, свободная частица, его импульс и квазиимпульс равны. Поэтому образовавшийся фонон имеет квазиимпульс где

Это простое правило отбора делает нейтроны весьма удобным инструментом для изучения фононов. Однако полный импульс также сохраняется, и, следовательно, кристалл (или если он закреплен, то держатель) должен получить потерянный нейтроном импульс, даваемый выражением (4.2.4). Учитывая сказанное выше, это означает, что в дополнение к моде некоторое «количество возбуждения» должна приобрести мода

Если одновременно с рождением фонона кристалл всегда получает импульс то, может быть, все дело в определении, считать или нет этот импульс относящимся к фонону? Если бы это было так, то можно было бы ожидать, что при известном местоположении фонона (конечно, приблизительно, в пределах, допустимых принципом неопределенности) его импульс должен был бы быть локализован там же. Это, вообще говоря,

невозможно из-за дисперсии, т. е. из-за зависимости скорости распространения от длины волны.

Пусть причиной испускания фонона служит, например, нейтрон, который первоначально локализован. И колебания решетки, и направленное движение, несущее импульс поступательного движения, будут локализованы в одной и той же области, создавая распределение скоростей типа изображенного на рис. 4.1а.

4.1. Распределение скоростей при колебаниях решетки, вызванных локализованной периодической силой в начальный момент спустя некоторое время

Однако спустя некоторое небольшое время осцилляторная, Т. е. собственно фононная, часть будет перемещаться со своей групповой скоростью, тогда как область направленного движения, образованная гораздо более длинными волнами, будет перемещаться вперед со скоростью звука, которая больше групповой. Через некоторое время распределение скорортёй будет таким, как на рис. 4.16, и в связи с этим совершенно неразумно ту часть движения, которая переносит импульс, считать относящейся к фонону.

Использовать этот аргумент необходимо с некоторой осторожностью, так как с течением времени волновой пакет конечных размеров неизбежно размывается, и нужно показать, что за это время два распределения, как показано на рис. разойдутся более чем на их ширину, причем они не должны настолько размыться, чиэбы ликвидировать разрыв. Однако рассмотрение показывает, что это условие удовлетворяется в том случае, когда длина волны фонона не слишком велика, а начальная протяженность волнового пакета гораздо больше постоянной решетки. Строго говоря, рисунок иллюстрирует только классическую ситуацию, но ответ точно переносится в квантовую механику.

Отсюда видно, что, по крайней мере в гармоническом приближении, определение, приписывающее им-нульс фонону, было бы физически неприемлемо.

Для многих процессов взаимодействия твердого тела с излучением, таким, как бриллюэновское рассеяние или черенковское излучение, выводы, обычно формулируемые в терминах импульса, правильны, если их интерпретировать с точки зрения сохранения квазиимпульса. Это как раз хорошо, так как настоящий импульс света в преломляющей среде — очень сложная величина. К счастью, нам не часто приходится интересоваться полным импульсом твердого тела.

В то время как различие между импульсом и квазиимпульсом хорошо известно большинству физиков, занимающихся твердым телом, в теории жидкостей принято считать, что импульс переносится фононами. Поэтому интересно рассмотреть задачу о распространении звуковых волн в жидкости. Известно, что имеются два различных, но эквивалентных способа описания движения жидкости, а именно способ Эйлера и способ Лагранжа.

В лагранжевых переменных в данный момент времени определяется положение элемента жидкости, который в момент времени находился в некоторой точке Таким образом, имеют дело с векторной функцией

Эта функция — континуальный предел естественных переменных для описания колебаний решетки. Смещение есть континуальный предел встретившегося, например, в разложении (4.1.2). Эти переменные довольно неудобны для описания обычного движения жидкости, так как для поперечных смещений нет возвращающей силы, и смещение легко может стать очень большим. Поэтому оказывается, что довольно сложно обнаружить, куда попал определенный элемент жидкости. В случае продольных звуковых волн (в отсутствие других движений в жидкости) уравнения весьма просты и, будучи линеаризованными по малой амплитуде, идентичны уравнениями для упругих волн в твердом теле. Неудивительно, что мы по-прежнему получаем нулевой импульс.

Можно сформулировать эту же задачу в эйлеровых переменных, когда скорость и и плотность суть функ

и времени. Тогда уравнения движения невязкой жидкости есть

Для звуковых волн небольшой амплитуды скорость и мала и отклонение от нормальной плотности тоже мало. Если записать

то можно считать величинами первого порядка малости, и пренебречь членами второго порядка. После этого получаем

где для краткости обозначено

с — скорость звука. Типичное решение уравнений

Плотность импульса равна

а ее среднее значение по пространству или по времени есть которое отличается от плотности энергии множителем (Очевидно, в основном приближении средняя плотность кинетической энергии есть , а хорошо известно, что при гармоническом движении средняя кинетическая и потенциальная энергии равны.)

Если это движение квантовано, энергия, приходящаяся на один фонон, есть и, если отношение импульса к энергии равно Не, это соответствует наличию импульса каждого фонона. Таким образом, мы приводим к удивительному результату: в жидкости либо не должен иметь импульса, либо обладает импульсом в зависимости от того, какие переменные (из двух эквивалентных наборов) мы выбрали.

Чтобы понять этот парадокс, необходимо вспомнить, что переход от эйлеровых к лагранжевым переменным нелинейный. Для малых амплитуд члены первого порядка малости эквивалентны при обоих описаниях. Однако если в эйлеровых переменных выбрать решение

(4.2.10), содержащее лишь волну с волновым вектором к и не учитывающее равномерного течения, то, переходя к лагранжевым переменным, мы не получаем состояния только с одной возбужденной -модой: скорость содержит вклад второго порядка малости -моды. Наоборот, если в формализме Лагранжа начать с движения, заданного только одной модой, то результат перехода к эйлеровым переменным будет не в виде (4.2.10), а в виде выражения, дополнительно содержащего малый обратный поток, который компенсирует рассчитанный нами импульс.

Такая ситуация возможна только из-за того, что описание звукового импульса в жидкости неоднозначно. В использованных нами уравнениях нет дисперсии, т.е. скорость распространения не зависит от длины волны; для коротковолнового звука она такая же, как для медленно меняющегося поля скоростей. Если к звуковому импульсу мы добавим однородную скорость, как на рис. 4.1 а, то она будет перемещаться вместе со звуковым импульсом и не будет отделяться (ср. с рис. 4.1 б). В этом случае выбор описания звуковой волны — вопрос определения, а эйлеровы и лагранжевы переменные просто предоставляют различные возможности, из которых можно воспользоваться наиболее простой.

Поэтому мы не будем удивлены, обнаружив, что в случае непрерывной и, следовательно, бездисггерсной жидкости обе точки зрения согласуются. В частности, в двужидкостной теории сверхтекучего гелия принято считать, что фононы переносят импульс При обычном изложении создается впечатление, что это существенно для теории. Было бы неожиданным, если бы это было так, если принять во внимание наш вывод о том, что это — вопрос определения. Данная ситуация была изучена Теллунгом, который убедился, что путем замены переменных уравнения двужидкостной гидродинамики могут быть переписаны так, что фононы не переносят импульса. При такой переформулировке все физические результаты остаются без изменения, но определение, по которому происходит разделение потока на нормальный и сверхтекучий, должно быть соответствующим образом подобрано.

В реальной жидкости, конечно, есть дисперсия. Даже в жидком гелии было обнаружено изменение

скорости звука в зависимости от волнового вектора. Поэтому надо ожидать, что свобода выбора теряется и что мы не вольны задавать состояние фонона с произвольным импульсом. Если руководствоваться аналогией с фононами в кристаллах, возникает искушение поверить, что опять импульс должен быть принят равным нулю. Это действительно так, если быть уверенным, что лагранжево уравнение движения по-прежнему линейно, а это, как мы видели, подразумевает, что уравнение Эйлера таковым не является.

Далее, известно, что как в кристаллах, так и в жидкостях гармоническая теория — только приближение и что в действительности в уравнениях движения имеются нелинейные члены. В кристаллах эти члены были исследованы; они, например, ответственны за конечную теплопроводность идеальных кристаллов. Известно, что нелинейные члены ответственны за конечное время жизни свободного фонона, так как именно они определяют процессы, в которых данный фонон расщепляется на два или более фононов или соединяется с одним или несколькими другими фононами, если таковые имеются. Это может быть причиной ограниченности нашего доказательства, если время жизни фонона оказывается меньше времени, за которое волновые пакеты на рис. 4.1 полностью разойдутся. Оценки, однако, показывают, что, по крайней мере при низких температурах, это ограничение несущественно. В той степени, в которой ангармонические эффекты должны быть учтены, они, по существу, ограничивают точность, с которой может быть определено однофононное состояние.

Возможно, нелинейные члены приводят также к другому результату. Чтобы увидеть это, заметим, что в представляющем чисто теоретический интерес, но простом случае жидкости, для которой уравнения Лагранжа строго линейны, но обладают дисперсией, уравнения Эйлера, как мы видели, нелинейны. В формализме Эйлера, следовательно, мы имеем дело с нелинейными «уравнениями, которые вообще не допускают строго периодических решений фононного типа. Тогда функции вида (4.2.10) являются только приближенными решениями. Однако из данных, полученных в лагранжевом формализме, известно, что существует строго периодическое и не связанное с импульсом] решение. В формализме Эйлера такое решение должно содержать

кроме движения вида (4.2.10) дополнительный малый длинноволновый вклад, который будет компенсировать импульс и приведет к строго периодическому решению нелинейного уравнения. Могут ли нелинейные члены в уравнениях Лагранжа привести к сходному результату? Трудно ожидать строго периодического решения при наличии произвольной нелинейности, но, может быть, дело обстоит так: решение, более близкое к периодическому, представляющее собой долго живущий фонон, требует поправок, которые окажутся частью моды , таким образом, это решение будет иметь ненулевой импульс. Я не знаю, так ли это, поэтому не исключены дальнейшие сюрпризы.