1.6. Интерпретация квантовой механики

В двадцатом веке две великие революции в физике (теория относительности и квантовая механика) потребовали коренного пересмотра основных представлений о пространстве, времени и причинности. Идеи теории относительности, которые особенно затрагивали концепцию времени, первоначально встретили значительное противодействие со стороны философов. Одной из возможных причин этого был тот факт, что слово «относительно», в смысле «все относительно», использовалось философами не так, как это понятие используется в теории относительности. В самом деле, сущность последней — сформулировать законы физики в таком виде, в котором они имеют неограниченную применимость, независимо от состояния движения наблюдателя. Вполне вероятно, что некоторые из первоначальных возражений в действительности основывались не на содержании новой теории, которое было трудно понять, а на ее названии.

Когда содержание и сущность этой теории были поняты лучше, она получила более широкое признание, и сегодня найдется немного философов или физиков, которые выдвигают какие-либо принципиальные возражения против идей теории относительности.

В случае квантовой механики возражения со стороны философов вначале были значительно менее настойчивыми. В конце двадцатых и в начале тридцатых годов революция в мировоззрении, характеризующаяся дуализмом между волнами и частицами и принципом неопределенности, была предметом напряженных дискуссий среди физиков, которые должны были приспособиться к новым идеям, изучить их до тонкостей и удостовериться в их согласованности. Борн, Гейзенберг и Нильс Бор сформулировали принцип соответствия.

Другие, включая Эйнштейна, который внес большой вклад в развитие квантовой теории и даже в ее интерпретацию, были вынуждены отказаться от классических, интуитивно убедительных понятий причинности и детерминизма. Эйнштейн предпринял много попыток найти примеры нарушения принципа неопределенности; Нильс Бор неизменно находил слабое место в его аргументации. Эти дебаты помогли углубить наше понимание новых идей и укрепили наше доверие к ним.

Хотя Эйнштейна не удалось убедить, что квантовая механика и принцип неопределенности — одно из основных ее положений — непоколебимы, он уважительно относился к этой теории и ясно представлял размер работы по ее модификации или замене другой теорией, которая не затронула бы огромного числа достижений квантовой механики.

Шредингер также был неудовлетворен утратой простой и привлекательной картины, в рамках которой волновая функция электрона в атоме водорода была физической величиной вроде колебляющейся струны или поля в волноводе. Он, однако, признавал, что эта простая картина не может объяснить явлений, в которых участвует более чем один электрон, и что она противоречит целому ряду других наблюдаемых факторов. Хотя принятая интерпретация квантовой механики не удовлетворяла Шредингера, он не утверждал, что может предложить другой вариант. Де Бройль одно время пришел к тем же выводам; в книге, опубликованной в 1929 г., он убеждал себя и читателей, что альтернативные детерминированные формы теории, которые на первый взгляд кажутся привлекательными, неприемлемы. Позднее он вернулся к поискам таких альтернативных форм теории.

Все физики должны были тщательно, пункт за пунктом разобрать те же доводы и столкнуться с теми же принципиальными трудностями, проистекающими из того факта, что наша интуиция формируется в результату повседневного опыта, в рамках которого не заметны ни релятивистские уточнения, ни квантовые эффекты. Большинство научилось воспринимать новые идеи и осознало, что они являются неотъемлемой частью логики квантовой механики.

Один конкретный вопрос, интересный в связи с основами теории, это вопрос о том, могут ли существовать «скрытые параметры». При измерении физической

величины, которая, для простоты, может принимать два значения, квантовая механика в общем случае не может предсказать исход измерения, а только определяет вероятность получения того или иного результата. В классической физике, особенно в статистической механике, мы тоже сталкиваемся с ситуациями, в которых можно высказать только вероятностные утверждения о результате эксперимента, но это связано с тем, что мы практически не можем или не хотим измерить все переменные, которые определяют исход эксперимента. Возникает вопрос: можно ли в квантовой механике предположить существование переменных, значение которых нам неизвестно и, по принципу неопределенности, должно остаться неизвестным, но знание которых позволило бы определить результаты эксперимента?

Оставим в стороне вопрос о том, чего мы добьемся, узнав о существовании таких скрытых параметров, поскольку никогда не сможем определить их значения. Отметим лишь, что задача казалась решенной после того, как фон Нейман доказал, что любая теория, в которой предсказания результатов измерений всегда согласуются с предсказаниями квантовой механики, не может содержать скрытых параметров.

В последние годы возобновились дискуссии по поводу этих представлений, и некоторые подвергают сомнению то, что они называют «копенгагенской интерпретацией квантовой механики», - как если бы существовало более чем одно возможное толкование теории.

Хочется сделать замечание относительно двух аспектов этих дебатов, которые содержат элементы сюрприза. Первое — это то, что в результате такой дискуссии Дж. С. Белл имел повод перепроверить доказательство фон Неймана, на которое мы ссылались. Белл нашел, что это доказательство основывается на предположении, для которого, с точки зрения физики, по-видимому, нет веских оснований, но без которого теорема, сформулированная фон Нейманом, несправедлива. Однако Белл сумел показать, что для правильного объяснения некоторых важных типов измерений скрытые параметры должны нарушать условие локальности, которое является требованием, существеннымдля физиков. Поэтому точка зрения, какой она представлялась после доказательства фон Неймана, была восстановлена. Удивительным элементом в этой ситуации является тот факт, что в доказательстве, столь часто цитируемом.

такой основополагающий момент оставался незамеченным так долго.

Результаты Белла содержатся в двух статьях, причем начало работы — в статье, опубликованной примерно на два года позже, чем завершающая часть.

Обсуждая аргументацию Белла, надо помнить, что, так же как и доводы фон Неймана, она относится только к возможности ввести скрытые параметры так, чтобы оставить все квантовомеханические предсказания результатов измерений неизменными. Мы не обсуждаем здесь альтернативную возможность так изменить теорию, чтобы она допускала бы введение скрытых параметров. С одной стороны, для того чтобы такая модифицированная механика была приемлемой, она должна воспроизводить все те предсказания квантовой механики, которые хорошо согласуются с экспериментом, а в области нерелятивистской механики это утверждение относится к столь обширному классу явлений, что построение такоп видоизмененной теории представляется чрезвычайно затруднительным. С другой стороны, едва ли можно доказать и то, что определенная так расплывчато модифицированная теория не может существовать. Хотя не было найдено ни одного явного противоречия, мы все еще не имеем гарантий, что существующие принципы квантовой механики достаточны для полного описания явлений в физике элементарных частиц. Можно думать, что если понадобятся новые идеи, что, конечно, вполне возможно, то они скорее уведут нас еще дальше от классических представлений и детерминизма, чем приведут к возврату к ним. Но все это дело будущего и пока остается в области предположений.

Вернемся к более конкретной возможности введения скрытых параметров в существующей квантовой механике. Рассмотрим два оператора А и В, относящиеся к двум наблюдаемым величинам. Тогда А + В — тоже наблюдаемая величина, соответствующая этому оператору. В классической физике измерение А + В может быть проведено путем отдельного измерения А и В и сложения результатов. В квантовой физике, если А и В не коммутируют, это противоречит принципу неопределенности. Измерению А + В тогда соответствует

отдельный эксперимент, не сводящийся к измерению отдельно А или В. Несмотря на это, в соответствии с основополагающими принципами квантовой механики, по-прежнему имеется линейная связь между ожидаемыми значениями:

Если существуют скрытые параметры, то должна быть некоторая величина (фактически она может содержать несколько переменных), знание которой полностью определит результаты всех измерений системы, включая измерение А, В и А + В. Фон Нейман принял без доказательства, что эти значения для каждого данного будут удовлетворять тому же соотношению:

Но нет доводов, на основании которых это было бы необходимо. Из (1.6.1) лишь вытекает, что при усреднении с подходящим весом по всем значениям правая и левая части (1.6.2) имеют одно и то же среднее значение.

В то же время очень легко прийти к противоречию, предположив справедливость (1.6.2) в общем случае. Для объекта со спином 1/2 рассмотрим составляющую спина в некотором направлении на плоскости х, у:

Квантовая механика предсказывает, что каждая из величин и может принимать только значения ±1/2. Другими словами, нужно найти такие две функции каждая из которых есть для некоторых значений для других, так что комбинация (1.6.3) всегда равна ±1/2. Это, очевидно, невозможно. Итак, из постулата (1.6.2) немедленно следует теорема фон Неймана.

Однако без этого постулата противоречия нет. Чтобы показать это, Белл построил пример функций переменной которые принимают только значения ±1/2 и для которых (1.6.3) выполняется в среднем. Эта достаточно надуманная конструкция не претендует на какую-либо физическую обоснованность, но она служит доказательством того, что постулат фон Неймана необходим для получения его результата.

Во второй своей статье Белл смог показать, что в более сложйой ситуации, чем измерение одного спина, введение скрытых параметров требует некоторого

условия, которое он назвал «нелокальностью». Оно возникает следующим образом: рассмотрим эксперимент, обсуждавшийся в статье Эйнштейна, Подольского и Розена Пусть известно, что два объекта со спином 1/2 находятся в состоянии с результирующим спином 0. Тогда если мы измерим -компоненту спина частицы 1 и найдем, что она равна 1/2, то можно с достоверностью предсказать, что -компонента спина частицы 2 окажется равной —1/2. То же утверждение справедливо, если для измерения спина частицы 1 выбирают любое другое направление. Заметим, что эта сильная корреляция имеет место и в последующие времена, если только частица не подвергается действию магнитного поля или другого влияющего на спин воздействия. В течение этого времени частицы могут проходить большие расстояния и быть значительно разнесены в пространстве.

Белл показал, что в этой ситуации скрытые параметры не могут воспроизвести все строгие предсказания квантовой механики, если по-прежнему не предположить, что при данном значении скрытого параметра спин частицы 2 зависит от того, какую спиновую компоненту частицы 1 мы выбрали для измерения. Так как частицы могут быть настолько далеки друг от друга, что ни один сигнал не может пройти от одной частицы к другой за время между измерением на частице 1 и связанным с ним измерением на частице 2, Белл справедливо заключил, что такое нелокальное влияние физически неприемлемо.

Если заменить постулат фон Неймана об [аддитивности более физичным постулатом локальности Белла, то мы приходим к заключению, несомненно подтверждающему теорему фон Неймана, что скрытые параметры не могут быть введены без отказа от некоторых результатов квантовой механики.

Еще одно замечание, которое хочется сделать, относится к стадяи, на которую часто ссылаются как на «редукцию» волнового пакета. Рассмотрим квантовую систему, которая вначале описывается волновой функцией. Если провести измерение над системой, то в общем случае нельзя с достоверностью предсказать его результат, а можно только указать вероятность различных возможных исходов. Это означает, что можно рассматривать

как суперпозицию с соответствующими коэффициентами собственных функций отвечающих собственным значениям оператора той наблюдаемой А, которая должна быть измерена. После того как выполнено измерение, давшее, скажем, значение для А, все члены в волновой функции, кроме должны быть отброшены. Если измеряется координата, то функция локализована в пространстве гораздо сильнее, чем (с математической точки зрения, в пределе точного измерения координаты), и именно это обстоятельство объясняет происхождение термина «редукция» (или «стягивание»); однако в импульсном пространстве конечно, размыта гораздо больше, чем

Иногда думают, что редукция может быть описана зависящим от времени волновым уравнением, если правильно учесть взаимодействие между измерительным прибором и наблюдаемой системой. Если бы это было так, то привело бы к непреодолимым принципиальным трудностям. Пусть, например, в обсуждавшемся выше эксперименте Эйнштейна — Подольского — Розена причина изменения волновой функции, приведшая к изменению предсказаний о частице взаимодействие с прибором частицы 1, а распространение влияния описывается волновым уравнением. Если к моменту измерения частицы разделены в пространстве, то на это прохождение сигнала требуется некоторое время, поскольку волновое уравнение, в согласии с теорией относительности, не может допускать распространения какого-либо влияния со скоростью, превышающей скорость света. Однако разобравшись более тщательно с типичным процессом измерения, можно видеть, что такое предположение в корне неправильно.

Для рассмотрения этого выберем в качестве примера эксперимент Штерна — Герлаха, который схематически иллюстрируется рис. 1.3. Пучок атомов со спином 1/2 проходит через область неоднородного магнитного поля. Тогда справа мы видим два пучка: один, содержащий атомы со спином другой — со спином

Очень легко написать решение уравнения Шредингера для этой задачи. Падающая волна имеет две компоненты, в общем случае со сравнимыми амплитудами, — для двух значений Это схематически представлено на рис. 1.4 а. После прохождения через зазор между полюсами магнита, эти две компоненты имеют острые

максимумы вблизи различных значений поперечной координаты как на рис. 1.46, изображая тот факт, что отклонение в направлении у зависит от спина.

Мы видим, что при этом «измерении» нет редукции. Оба спиновых направления по-прежнему представлены равноправно, и единственная новая черта — корреляция между положением атома и компонентой его спина. В этом смысле всегда действие измерительного прибора — создание корреляций.

1.3. Схема эксперимента Штерна и Герлаха

Описание эксперимента Штерна — Герлаха является неполным, потому что, установив корреляцию, осталось обнаружить, находится данный атом в верхнем или нижнем пучке. Мы можем сделать это, поместив чувствительные к интересующим нас атомам счетчики в оба пучка. Можно, если хотим, включить действие счетчиков в наше квантовое описание, введя новые степени свободы для описания состояния счетчиков. Нет необходимости проводить вычисления, так как ясно, что произойдет. Новая волновая функция, определенная в пространстве, включающем в себя спин, координаты атома и два счетчика, будет в конечном счете состоять из двух частей: одна — для спина, направленного вверх, атом — в верхнем пучке, верхний счетчик активизирован, нижний счетчик не активизирован, и другая — для спина, направленного вниз, атом — в нижнем пучке, активизирован нижний счетчик. Теперь мы установили тройную корреляцию.

1.4. Спиновая и координатная зависимости волновой функции до и после «измерения»

Можно продолжить эту цепочку, используя гальванометр или другой визуальный индикатор состояния счетчиков: свет, отраженный от индикатора, когда мы смотрим на него, действие этого света на сетчатку нашего глаза и т. д. Все, к чему это приведет, — установление все большего и большего числа корреляций с учетом всех первоначальных возможностей. Причина, по которой мы обычно не обсуждаем эту цепочку событий, в том, что начиная с определенного момента (в нашем случае — с действия счетчиков) квантовыми эффектами и действием принципа неопределенности можно пренебречь и рассматривать связи на последующих участках цепочки как достоверные.

Когда же мы «стягиваем» волновую функцию? Не ранее чем тогда, когда с помощью визуального или другого чувственного наблюдения удостоверимся, что реализуется одна или другая из двух альтернативных возможностей. Когда становится известным, что атом активизировал, скажем, верхний счетчик, мы заключаем, что спин направлен вверх, и с этого момента отбрасываем ту часть волновой функции, которая соответствует атому со спином, направленным вниз.

Эта ситуация представляется совершенно неудовлетворительной, если попытаться встать на точку зрения, согласно которой волновая функция (или, в более общем случае, матрица плотности) является таким же физическим объектом, как наблюдаемые. Но это — ошибочная точка зрения. Любой внимательный разбор процесса измерения, вроде кратко обсужденного выше, ясно показывает, что смысл матрицы плотности — описать состояние нашего знания системы. Стоит это принять, и оказывается неудивительным, что новая информация может изменить состояние нашего знания.

Ясно также, что не возникает трудностей, связанных с тем, что измерение, выполненное в одной области пространства, может дать информацию об объекте, расположенном достаточно далеко, не подразумевая при этом возможности мгновенного распространения воздействия.

В этом месте можно задать вопрос: чье знание представляет волновая функция? Должны ли мы писать отдельную матрицу плотности для каждого наблюдателя, принимающего участие в эксперименте? А может быть, для каждого читателя получившейся в результате

статьи? Ответ заключается в том, что в большинстве практических экспериментов, как в эксперименте Штерна — Герлаха, конечные звенья цепи, ведущей от квантовой системы к показаниям прибора, полностью клас сические. Поэтому много наблюдателей могут смотреть на одну и ту же шкалу, не влияя на ход событий, могут передавать информацию о том, что они видели, и проверять утверждения друг друга. При этих условиях мы имеем дело с общим для всех знанием и никаких различий делать не надо.

Есть исключения из этого правила. Представим себе наблюдение, которое проводится полностью в квантовой области. Известно, что на пределе чувствительности человеческого глаза можно зафиксировать отдельный квант света, и мы, конечно, можем представить себе ситуацию, при которой некоторый наблюдатель видит отдельный фотон. Теперь на первом участке цепочки только один человек приобретает знание, хотя, конечно, он может поделиться полученным знанием с другими. Никаких новых принципиальных трудностей не возникает.

Иногда выдвигается другое возражение: предположим, мы включим наблюдателя и его мозг в наше квантовое описание. На практике необходимое для этого уравнение Шредингера будет настолько сложным, что его даже невозможно сформулировать, не говоря уже о том, чтобы решить, но в принципе это возможно. В чем тогда смысл матрицы плотности, получающейся из этого уравнения; чье знание она представляет, и когда мы принимаем решение о редукции?

Кажется, что этот вопрос приводит к непреодолимым трудностям. Но он основан на предположении, что живые создания, такие, как наш наблюдатель, могут быть описаны существующими законами физики, другими словами, что биология в конечном счете есть раздел физики, в том же смысле, как и химия, которая фактически теперь известна как раздел физики. Сегодня мы уверены, что если сможем решать уравнение Шредингера для всех электронов в большой молекуле, это даст нам полностью то же знание, которое могут получить химики об этой молекуле. (Сказанное не означает, что работа химиков не нужна, так как решение такого уравнения далеко за пределами возможностей самого мощного компьютера, который можно себе представить.)

Многие люди считают само собой разумеющимся, что то же должно быть справедливо и в науке о жизни. Трудность, с которой мы столкнулись, связанная с тем, как описать приобретение информации,— сильный довод для проявления сомнений в справедливости этого предположения.

Это сродни вопросу о том, как включить понятие сознания в описание живых существ в терминах физического функционирования клеток их мозга. Сознание, и это общепризнанно, трудно определить объективно, но каждый из нас, будучи сознательным, имеет ясное интуитивное представление о том, что он под этим подразумевает. Можно сравнить человеческий мозг с очень сложным компьютером, и, в самом деле, компьютер может выполнять многие функции мозга, но нелегко вообразить компьютер, обладающий сознанием. Эта проблема далека от физики, но она связана с обсуждаемыми нами вопросами, так как знание того, что измерение обнаружило определенное событие, есть то же самое, что осознание этого факта, а именно это заставляет нас «стянуть» волновую функцию (произвести редукцию волнового пакета).

Утверждая, что биология, вероятно, не является разделом современной физики, я не хочу сказать, что жизнь каким-то мистическим образом может противоречить законам физики. Я верю, что эта ситуация сравнима с проблемой электричества и магнетизма, какой она представлялась до и даже во времена Максвелла. Тогда физика была механикой и объяснить явление означало обнаружить его механизм. Даже Максвелл упорно старался подкрепить свои полевые уравнения механическими моделями. Только позже он понял, что электрическое и магнитное поля являются важными основополагающими понятиями физики, не содержащимися в понятиях механики, но, конечно, не противоречащими законам механики, и что физика должна быть обогащена их добавлением. По крайней мере возможно, а для меня — даже вероятно, что новые идеи должны быть добавлены подобным образом к современным физическим понятиям, прежде чем станет возможным адекватное описание жизни. Будет ли такая расширенная дисциплина все еще называться физикой — вопрос семантики.