7. ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА

7.1. Оболочечная модель

Важным инструментом при обсуждении спектра и других свойств ядер является оболочечная модель, в которой начинают с приближения, где каждый нуклон считается независимо движущимся в потенциальной яме, которая, по предположению, должна отображать усредненное действие остальных нуклонов. Это представление нужно дополнить определением правильных комбинаций тех состояний, которые были бы вырожденными в отсутствие сил взаимодействия между нуклонами. Такая модель использовалась с момента появления теории ядра, задолго до того, как появилась возможность ее оправдания эмпирической проверкой или теоретическим анализом. Действительно, ранние варианты оболочечной модели использовались до открытия нейтрона, когда все еще верили, что ядро содержит протоны, электроны и -частицы. Давайте проделаем еще раз путь, по которому развивалось наше понимание существа этой модели и который отнюдь не был простым или прямым.

Вероятно, сначала главным аргументом за использование оболочечной модели была привычка. Это был обычный метод решения задач атомной физики, где он на редкость успешно применялся. В атомной физике представление о последовательном заполнении оболочек путем добавления все большего числа электронов явилось основой понимания периодической системы элементов.

Кроме того, это наверняка наиболее простой и самый выполнимый подход к задаче многих тел, и поэтому совершенно естественно, что при изучении новой области, динамики ядра, были сделаны попытки использовать оболочечную модель. Естественно также, что для теоретического рассмотрения оболочечной модели

использовался тот же формализм, что и при атомных расчетах, а именно метод Хартри — Фока.

В этом случае в качестве волновой функции — по крайней мере тогда, когда оболочка замкнута — используют слэтеровский детерминант из одночастичных волновых функций. Эти одночастичные волновые функции являются собственными функциями движения нуклона в потенциале, «потенциале Хартри — Фока», который представляет собой средней потенциал, действующий на каждый нуклон благодаря наличию других нуклонов. Наиболее простой рецепт определения этого потенциала — рассмотреть слэтеровский детерминант с произвольными одночастичными функциями и вычислить математическое ожидание значения истинного гамильтониана (кинетическая энергия плюс двухчастичное взаимодействие) для этих функций. Затем надо потребовать, чтобы одночастичные волновые функции были выбраны так, чтобы минимизировать это значение. Такая процедура приводит к функциям, удовлетворяющим одночастичному уравнению Шредингера с потенциалом Хартри — Фока, который определен с помощью одночастичных функций, так что произведенное вычисление должно установить потенциал и одночастичные функции одновременно.

При использовании слэтеровского детерминанта пренебрегают всеми корреляциями между нуклонами, кроме тех, которые требует принцип Паули. Два идентичных нуклона (оба — нейтроны или оба — протоны) с параллельными спинами не должны находиться в одной и той же точке пространства, и маловероятно, что они будут расположены близко друг к другу; это свойство правильно передается любой антисимметричной функцией. Однако два различных нуклона или два одинаковых нуклона с противоположными спинами имеют повышенную или пониженную вероятность быть близко друг от друга, если взаимодействие между ними притягивающее или отталкивающее. Этим эффектом пренебрегают, поскольку пренебрегают влиянием сил взаимодействия на волновую функцию. В атоме, где взаимодействие между двумя любыми электронами достаточно слабое и меняется плавно, такие «динамические» корреляции малы и пренебрежение ими оправдано.

В ядре силы взаимодействия между двумя нуклонами велики, а радиус их действия гораздо меньше диаметра ядра, что ясно из факта насыщения ядерных сил.

Это означает, что при возрастании массового числа А энергия связи на частицу остается приблизительно постоянной. Предполагается, что каждый нуклон сильно взаимодействует только с ограниченным числом соседей, так что его полная энергия связи должна получаться путем взаимодействия с очень небольшим числом других нуклонов.

В результате многие физики испытывали сильные сомнения в пригодности оболочечной модели. Эти сомнения, казалось, усилились благодаря успеху предложенного в середине тридцатых годов Нильсом Бором объяснения существования большого числа острых резонансов при захвате ядрами медленных нейтронов. Боровская модель включала в себя сильное взаимодействие между многими нуклонами, так что избыточная энергия, вносимая при присоединении добавочных нейтронов к ядру, практически мгновенно делилась между многими степенями свободы. Это затрудняет обратный вылет нейтронов из-за малой вероятности всей избыточной энергии опять собраться на одной частице, которая будет иметь возможность вырваться из притягивающего силового поля. Поэтому время жизни такого состояния может быть очень большим, а его энергия, по принципу неопределенности, соответственно достаточно определенной.

Бор любил изображать ядро как своего рода жидкую каплю, и эта точка зрения казалась антитезой оболочечной модели. Нельзя было ожидать, чтобы молекула воды двигалась в капле воды своим особым образом в некотором универсальном силовом поле без строгой корреляции с другими молекулами.

Другой, казавшийся количественным аргумент возник благодаря расчетам, впервые выполненным Эйлером. Он использовал метод Хартри — Фока, чтобы вычислить энергию ядерной материи, т. е. для предельного случая бесконечно большого ядра. Для этого надо было пренебречь электростатическим отталкиванием между протонами, так как иначе для любой заданной плотности энергия в пределе стремится к бесконечности. Хотя энергия ядерной материи отчасти академическое понятие, это все же интересная величина, поскольку она может быть получена из известных энергий ядер

путем экстраполяции с поправкой на электростатический вклад.

Для этого предельного случая хартри - фоковский расчет очень прост, поскольку в бесконечном объеме должна быть полная трансляционная инвариантность и, следовательно, одночастичные собственные функции должны быть плоскими волнами. Таким образом, расчет состоит только в вычислении предполагаемого двухнуклонного взаимодействия с помощью детерминанта, построенного из плоских волн. Ядерные силы не были точно известны, но в то время верили, что они известны достаточно хорошо. Эти силы должны были давать правильную энергию связи дейтрона, которая приближенно определяется как произведение напряженности притягивающего потенциала на квадрат его радиуса действия. По сравнению с дейтроном тритон и -частицы связаны сильнее, кроме того, они — компактнее. Эти энергии связи дают возможность оценить радиус действия ядерных сил.

7.1. Зависимость энергии ядерной материи от удельного объема в предположейии о «хорошо себя ведущих» ядерных силах в соответствии с данными Хьюби. Сплошная кривая — приближение Хартри — Фока, штриховая — учет поправки второго порядка, штрихпунктирная линия — энергия свободных -частиц, пунктирная — предполагаемый правильный ответ

Эйлер выбрал гауссовскую кривую для описания зависимости потенциала взаимодействия от расстояния. Позднее расчет был повторен Хьюби при юкавовском законе для сил и получились очень похожие результаты. Кривые на рис. 7.1 основываются на данных Хьюби, которые легче извлечь из опубликованных работ, чем данные Эйлера. Хартри - ф оковский результат представлен сплошной кривой, где ордината есть энергия на нуклон, абсцисса — мера удельного объема — радиус, приходящийся на нуклон по формуле

где — полный радиус, число нуклонов. Крестиком отмечено эмпирическое значение полученные путем экстраполяции. Мы видим, что хартри - фоковский результат имеет минимум при более или менее правильном радиусе, но получающаяся энергия связи безнадежно неправильна.

Очевидно, эта неудача указывает либо на ошибочность предполагаемого взаимодействия, либо на то, что терпит неудачу приближение Хартри — Фока. Чтобы проверить это, Эйлер и позднее Хьюби вычислили следующий порядок теории возмущений. Если различие между реальным двухчастичным взаимодействием и хартри - фоковским потенциалом, для которого решение в виде слэтеровского детерминанта — точное решение, рассматривается как малая величина, то можно получить ряд теории возмущений по степеням этой величины. Поправки первого порядка нет благодаря тому, что набор используемых волновых функций выбран так, чтобы минимизировать гамильтониан в пространстве всех одночастичных функций; поправки появляются только во втором порядке. Фактически, второй порядок заключается в том, что приближенно учитываются корреляционные поправки, которые отсутствуют в слэтеровском детерминанте.

Результат с учетом поправок второго порядка представлен штриховой кривой. Мы видим, что она, как и ожидалось, лежит ниже сплошной кривой, давая, таким образом, несколько большую энергию связи. Однако этого увеличения далеко не достаточно, чтобы ликвидировать разрыв с экспериментальным значением. Мы видим, однако, что энергия связи все же

существенно увеличивается. Эйлер это интерпретировал как доказательство того, что возмущение не мало и ряд теории возмущений плохо сходится.

В то время существовал другой аргумент, убедивший меня, что это приближение несостоятельно: было известно, что силы, использованные Эйлером и Хьюби, могут дать приблизительно правильную энергию связи для -частиц. Она была вычислена путем вариационных расчетов, которые давали нижний предел для энергии связи, получающейся при этих силах. Следовательно, можно было ожидать, что для ядерной материи эти силы по крайней мере будут давать энергию связи, близкую к той, которая получается при объединении четырех нуклонов в -частицу. Эта энергия показана горизонтальной штрихпунктирной линией на рисунке. Результат, далекий от этой линии, должен, следовательно, свидетельствовать о неадекватности приближения.

Ретроспективно мы знаем сегодня, что эти доказательства были ошибочными и что приближение Хартри — Фока существенно более приемлемое приближение для этих сил, чем казалось раньше. Согласно физической аргументации Бора, нужно различать основное состояние ядра и сильно возбужденное состояние, такое, как компаунд - ядро, образованное добавлением нейтрона, который вносит в ядро энергию около 6-4-8 МэВ. Вблизи основного состояния плотность энергетических уровней мала, поскольку лишь немногие нуклоны могут поглотить малую энергию без того, чтобы не перейти в состояние, уже занятое подобным нуклоном, и тем самым нарушить принцип Паули. Поэтому двухчастичное взаимодействие не имеет возможности изменить волновую функцию и вызвать корреляции. Снижение эффективной силы взаимодействия благодаря принципу Паули уже обсуждалось в разделах 6.2 и 6.3. В применении к ядерной физике этот эффект был подчеркнут Вайскопфом.

Мы знаем (ср. с (3.3.4)), что условие применимости теории возмущений есть где — мера возмущения, а — порядка расстояния между энергетическими уровнями. С точки зрения этого критерия мы замечаем, что расстояние между невозмущенными уровнями около основного состояния для ядер с заполненными оболочками имеет порядок нескольких

мегаэлектрон - вольт, и разумно предположить, что возмущение будет меньше этой величины. Когда энергия возбуждения достигает приблизительно 6 МэВ, а расстояния между уровнями — порядка 100 эВ или около того, то в этой ситуации никакая обычная теория возмущений не будет работать; в полном соответствии с боровской моделью мы действительно имеем дело с ситуацией, характерной для частиц с сильным взаимодействием.

Что касается эйлеровской интерпретации кривых на рис. 7.1, надо помнить, что энергия связи ядра есть довольно малая разность между большой потенциальной энергией и чуть меньшей кинетической энергией. В соответствии с использованной моделью полная потенциальная энергия частицы должна быть порядка —50 МэВ. В действительности расчет представляет собой способ определения потенциальной энергии, поскольку кинетическая энергия не очень чувствительна к деталям волновой функции. Для того чтобы увидеть, является ли поправка большой или маленькой, надо сравнивать ее не с энергией связи, а с потенциальной энергией. Тогда различие, указанное на рис. 7.1, в действительности мало, и можно предположить, что более высокие порядки разложения дадут еще меньший вклад.

Моя аргументация терпит неудачу в связи с тем, что можно быть уверенным в расчете энергии связи путем образования -частиц только при низких плотностях, когда имеется достаточно места для того, чтобы -частицы могли существовать, не мешая друг другу. Это справедливо на крайнем правом конце рис. 7.1. Здесь, действительно, приближецие теряет силу, как и показывают мои рассуждения. Однако при таких малых плотностях ослабление взаимодействия, связанное с принципом Паули, мало; если взаимодействие достаточно мало, чтобы его рассматривать как возмущение, то это может быть только при высоких плотностях, где приходит на помощь принцип Паули. Конечно, мы знаем, что в реальных ядрах -частицы притягиваются друг к другу, так что нацнизшая энергия системы многих -частиц меньше энергии системы отдельных частиц, но у нас нет уверенности, что «старомодные» силы, использованные Эйлером и Хьюби, приведут к взаимному притяжению -частиц. Если они приведут к взаимному отталкиванию, энергия связи будет повышаться при сжатии и «правильный» результат для

таких воображаемых сил может выглядеть более или менее так, как показано на рис. 7.1 пунктирной кривой. Эта кривая приемлемо аппроксимируется приближением Хартри — Фока для больших плотностей, но не для малых, и, конечно, очень сильно отличается от действительности.

Но все это — взгляд в прошлое, и многие годы большинство теоретиков - ядерщиков считало использование оболочечной модели заблуждением. Немногие, из упрямства или благодаря верной интуиции, настаивали на продолжении расчетов в рамках оболочечной модели. В частности, Мария Гёпперт-Майер была убеждена, что ядерные данные свидетельствуют о существовании оболочек подобно тому, как оболочки в атомах проявляют себя в периодической системе элементов. Эти свидетельства стали слишком явными, чтобы их игнорировать. По-прежнему было трудно согласовать числа нейтронов и протонов в различных оболочках с последовательностью уровней для какой-либо потенциальной ямы. Оболочечная модель стала пользоваться уважением и была повсеместно принята, когда Мария Гёпперт-Майер и также независимо Йенсон, Хаксел и Сьюз показали, что потенциальная яма со спин - орбитальной связью может дать нужные числа.

Это означало также, что силы взаимодействия между нуклонами отличаются от тех, какими их считали. Этот факт был подтвержден экспериментами по нуклон - нуклонному рассеянию при больших энергиях; эксперименты доказали, что силы взаимодействия между нуклонами насыщаются не так сильно, как предполагалось (это оставляет место для притяжения между -частицами), и что они имеют сильную отталкивательную часть на малых расстояниях. Открытие области отталкивания (кора) было причиной нового сюрприза, поскольку отталкивание препятствует нуклонам приблизиться друг к другу достаточно близко, а это равнозначно сильным корреляциям. Хартри - фоковский метод, в котором пренебрегают всеми динамическими корреляциями, вероятно, не может быть применим к системе, содержащей такие силы. Все же оболочечная модель, которая рассматривалась как синоним приближения Хартри — Фока, оправдала себя.

Этот парадокс был разрешен только в результате приближения, принятого Брукнером и развитого Бете и другими, которое основано на том факте, что

короткодействующее взаимодействие, в частности отталкивательный кор, до известной степени не очень чувствительно к окружению Поэтому скорее можно рассматривать взаимодействие между двумя нуклонами, как имеющее место в усредненном поле других нуклонов, чем предположить, что каждый нуклон движется в некотором усредненном поле. Рассмотрение метода Брукнера — Бете сверх этого краткого замечания и обзор их количественных результатов, которые все еще подвергаются пересмотру, заведут нас слишком далеко. Но они дали возможность понять, почему оболочечная модель применима к силам, для которых неприменимо приближение Хартри — Фока.

Кроме всего прочего сюрприз состоит в том, как долго и какими окольными путями пришлось идти, прежде чем мы достигли приемлемого общего понимания ситуации.