5. ТРАНСПОРТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

5.1. Разложение коэффициента диффузии по плотности

Следующий пример касается самого основного вопроса статистической механики газов. Он относится как к классической, так и к квантовой теории, но для простоты мы будем обсуждать только классический случай.

Хорошо известно, как в рамках элементарной кинетической теории решают такие неравновесные задачи, как расчет вязкости почти идеального газа. Следуя Больцману, мы рассматриваем парные соударения, при которых молекулы, приходящие из разных мест и, следовательно, переносящие в среднем скорости, присущие различным точкам соответствующего поля, имеют тенденцию к их выравниванию и вследствие этого к уменьшению градиента скорости. Такая простая трактовка применима к очень разреженным газам, для которых оправдано ограничение только парными столкновениями, так как вероятность трем или более молекулам оказаться в области взаимного действия сил пропорциональна более высоким степеням плотности и, следовательно, по определению пренебрежимо мала.

Может показаться, что это утверждение несколько рискованно, так как обычно представляют интерес макроскопические задачи, в которых полное число молекул очень велико. В таких больших системах вероятность того, что какие-нибудь молекулы взаимодействуют с двумя или несколькими другими молекулами, фактически велика. В действительности существенно то, что любая молекула имеет мало шансов одновременно взаимодействовать более чем с одной молекулой.

Поэтому необходима некоторая осторожность: следует построить теорию в такой форме, из которой было бы видно, что она основана только на последнем оправданном приближении, а не на предположении о малой вероятности полного числа тройных (и более высокого порядка) соударений. Для равновесных задач это достигается путем использования формализма «связанных кластеров», к которому мы вернемся позже.

Для вязкости аналогичное разложение было предложено Боголюбовым в 1946 г., и многие годы оно неизменно цитировалось по этому поводу. Очевидно, множество людей, ссылавшихся на боголюбовское разложение, никогда детально не исследовали больше двух первых членов этого разложения.

В работе Дорфмана и Коэна было показано, что такое разложение не существует — это воспринималось как один из значительных сюрпризов теоретической физики. Дело не в том, что это разложение расходится (обычная опасность при разложении в ряд), а в том, что начиная с некоторого порядка каждый член этого разложения оказывается бесконечным.

Чтобы понять природу этого сюрприза, опять рассмотрим так называемый лоренцевский газ. Это модель, в которой молекулы сталкиваются не друг с другом, а с распределенными случайно фиксированными центрами рассеяния. Для наших целей это, не изменяя характер задачи, существенно упрощает кинематику при условие, что мы исследуем не вязкость, а диффузию. В качестве дальнейшего упрощения сначала обсудим случай двумерной системы, а затем рассмотрим, как полученные результаты распространяются на трехмерную систему.

В основном приближении мы имеем привычную трактовку Больцмана, согласно которой надо рассматривать только единичные столкновения. То, что молекулы не скоррелированы с мишенями, с которыми они должны столкнуться, — часть знаменитого Stoss-zahl-Ansatz’a Больцмана. Если молекула повторно сталкивается с той же самой мишенью, то этот процесс должен быть описан скорее как многократное столкновение, чем как последовательность единичных

столкновений, поскольку предположение об отсутствии корреляций иначе не будет применимо к последующим столкновениям. Молекула не может повторно рассеяться на первом рассеивающем центре, если до этого она не столкнулась с другим центром, так что мы должны рассматривать тройные соударения.

Простейший случай показан на рис. 5.1. Молекула сталкивается с центром а, затем с центром отбрасывается последним назад и опять сталкивается с а. Для данного расположения рассеивающих центров, если предположить, что расстояние между ними гораздо больше их диаметров, число таких столкновений в интервале углов (описывающих окончательное рассеяние), очевидно, есть

где I — поток падающих молекул, — эффективные дифференциальные сечения рассеяния на единичный угол, а углы такие, как обозначено на рис. 5.1.

5.1. Трехкратное рассеяние молекулы двумя центрами

Теперь эту вероятность надо проинтегрировать по всевозможным положениям рассеивающих центров. Местоположение первого центра произвольно и с вероятностью равной плотности рассеивающих центров, он располагается где-либо в объеме. Если мы предположим, что центры взаимно не скоррелированы (это хорошая аппроксимация при больших расстояниях между центрами — случай, который нас и интересует), то вероятность обнаружить второй рассеивающий центр на расстоянии относительно центра есть Поэтому кроме интегрирования по углам интеграл от выражения (5.1.1) содержит интеграл по радиусу, который при больших ведет себя, как

и, следовательно, логарифмически расходится.

Теперь, не выписывая детально соответствующие выражения, легко увидеть, что произойдет в следующем порядке. Для четырехкратного рассеяния, изображенного на рис. 5.2, нам потребуются три плотности рассеивающих центров, относящиеся к разным углам и добавляющие соответственно множители . С другой стороны, после того как мы выбрали первый центр, остались элементы площади Если сохранить все углы и отношения фиксированными, остается интеграл по радиусу, который ведет себя, как т. е. расходится линейно. В формальном разложении этот член пропорционален

В общем случае в члене с для возникает расходимость порядка

5.2. Четырехкратное рассеяние молекулы тремя центрами

В трехмерном случае процесс, соответствующий рис. 5.1, дает конечный вклад, потому что телесный угол, под которым «виден» один центр из другого, пропорционален так что мы имеем в знаменателе и только в числителе. Однако следующий член, соответствующий процессу типа изображенного на рис. 5.2, имеет в числителе и в знаменателе и, таким образом, логарифмически расходится. Дальнейшие члены, пропорциональные имеют расходимость порядка

Несмотря на это физическая задача диффузии в системе рассеивающих центров, плотность которых конечна, должна иметь конечное решение. В чем же причина этой расходимости? Ответ заключается в том, что неправильно распространять интегрирование по различным расстояниям до бесконечности. При таком рассмотрении подразумевается, что не происходит никаких добавочных столкновений, но это совершенно невероятно, если расстояние больше, чем средняя длина свободного пробега. Более реалистичное выражение получается, если приписывать к каждому проходимому расстоянию множитель где I — средняя длина свободного пробега. Этот множитель определяет вероятцость того, что на расстоянии

не произойдет никаких других столкновений. Такая процедура не претендует на точность, но она дает более реалистичную оценку указанных процессов, чем безыскусные выражения, выписанные выше. Теперь все конечно, и, например, в трех измерениях член будет пропорционален если Но средняя длина свободного пробега обратно пропорциональна плотности рассеивающих центров, так что в действительности каждый из таких членов пропорционален

Другими словами, если в порядке возрастания степеней выписать члены, включающие многократные столкновения, в трех измерениях разложение начнется с очевидных членов, пропорциональных Но затем появляется член а также бесконечный ряд членов, пропорциональных Ряд надо просуммировать для того, чтобы получить результат, позволяющий удержать члены третьего порядка по Очевидно, это совсем нелегко, и получить члены более высокого порядка будет еще труднее.

Я не достаточно подготовлен для того, чтобы сделать обзор успехов, достигнутых в получении обоснованных количественных выражений для коэффициентов. Излагая результаты для модели Лоренца, я следовал лекции Е. Г. Хьюджа. Хьюдж подчеркивает полезность этой модели, делающей очевидной расходимость, которая в случае многократных столкновений оставалась незамеченной около двадцати лет. Он формулирует такую мораль: «Не верь общей схеме до тех пор, пока она не проверена на достаточно простой и разумной модели».