1.4. Угол как оператор

Для некоторых задач элементарной квантовой механики удобно ввести плоские полярные координаты:

В этом случае угол становится одной из динамических переменных и представляется естественным, как и для других наблюдаемых величин, поставить ему в соответствие оператор.

Сопряженной с 0 переменной служит угловой момент М. Если момент измеряется в единицах Й, то легко показать, что М может быть представлен оператором:

Тогда коммутатор есть

(Фактически мы используем очень похожее соотношение при выводе (1.3.3), и, следовательно, это именно то место, где следует обратить внимание на возможные затруднения.)

Известно также, что М имеет целочисленные собственные значения. В представлении, в котором оператор М диагонален, из (1.4.3) следует

Но такое равенство невозможно, так как при левая часть обращается в нуль, а правая — нет.

Аналогично, введя гамильтониан свободного вращения

где I — момент инерции, находим соотношение

представляющееся разумным, но в М-представлении опять получим

что неверно.

Разгадка парадокса в том, что 0 не есть наблюдаемая. Определение (1.4.1) содержит только периодические функции 0 и, следовательно, не дает возможности различать значения 0, отличающиеся на величину, кратную Трудность не может быть устранена договоренностью о том; что значения 0 заданы на ограниченном интервале, скажем, между — потому что, делая определение (1.4.1) однозначным, такое ограничение одновременно приводит к нарушению непрерывности, а это несовместимо с выражениями типа (1.4.2).

Несмотря на то, что угол не может рассматриваться как наблюдаемая, вместо него можно ввести оператор сдвига

где — однозначная функция декартовых координат:

Правда, оператор не эрмитов, но он унитарен и, следовательно, обладает вполне приемлемыми собственными значениями. (Малодушный может пользоваться отдельно действительной и мнимой частями ?.)

Любое, имеющее физический смысл утверждение, включающее 0, может быть выражено через ?. Правило коммутации вместо (1.4.3) принимает теперь вид

и в М-представлении имеем

откуда вытекает, что — оператор сдвига, связывающий только те состояния, для которых

Пример физически ошибочного заключения, к которому можно прийти, полагая, что 0 — физическая переменная, дали Р. Е. Пайерлс и Дж. Н. Урбано

Следует подчеркнуть, что трудность, выражением которой является соотношение (1.4.4), связана с тем, что М имеет дискретные собственные значения, а это в свою очередь связано с периодичностью по 0. В случае декартовой координаты сопряженный импульс имеет непрерывный спектр и, как было показано Дираком, матричное представление коммутатора содержит -функцию Дирака и ее производную.

Однако Следует проявлять осторожность, если используются циклические граничные условия для что часто бывает удобно в электронной теории металлов. В этом случае больше не является однозначной непрерывной переменной и оператора координаты не существует. Такой оператор хотелось бы иметь, чтобы при расчетах проводимости выразить потенциал статического электрического поля. Здесь трудность связана с невозможностью поддержания статической э.д.с. в круговом контуре. Можно заменить циклические граничные условия условиями непроницаемости границ но это ничего не даст для расчетов проводимости, так как в таком случае стационарный ток течь не может. Фактически соотношения, которые часто представляются полученными путем неправильного применения линейного статического потенциала и циклических граничных условий, могут быть обоснованы более строгими рассуждениями. Это также оправдывает использование нами в разделе 1.3 фазы поля как переменной, так как соотношение неопределенности (1.3.3) легко заменить другим, содержащим неопределенность