6.3. Образование позитрония в металлах

Ранние эксперименты по аннигиляции позитронов в металлах, казалось, указывали на то, что скорость аннигиляции не возрастает с ростом плотности электронов при переходе от одного металла к другому, как того можно было ожидать. При попытке объяснить такое поведение возникло предположение, что, возможно, позитрон может объединяться с электроном, образовывая позитрониум, и время жизни этой системы, если она существует, может вовсе не зависеть или только слабо зависеть от электронной плотности.

Такое предположение немедленно ставит вопрос: может ли неподвижный позитрон внутри ферми - газа электронов связать электрон, чтобы образовать позитрониум, и повлияет ли это на электронную плотность в месте, где расположен позитрон? Чтобы прояснить этот вопрос, мы опять начнем с упрощенной модели. Заменим позитрон тяжелым объектом, который будем считать покоящимся, и пренебрежем отдачей, обусловленной взаимодействием с электронами. Пренебрежем также взаимодействием электронов друг с другом, за исключением того, которое необходимо для экранирования позитрона. Не будем также учитывать

периодический потенциал решетки, считая электроны свободными. В этом случае мы имеем дело со свободными электронами в потенциале экранированного заряда, который обозначим Физический интерес представляет плотность электронов в том месте, где расположен заряд; примем это место за начало координат.

Теперь имеется два возможных подхода к этой задаче. Первый и наиболее очевидный — решить уравнение Шредингера для одного электрона в поле экранированного заряда, т. е. с потенциалом а затем построить многоэлектронную волновую функцию из полученных таким образом одноэлектронных решений. Тогда плотность электронов в любой точке, в частности в начале координат, есть сумма плотностей, обусловленных всеми этими состояниями.

Для заряда при реалистичном радиусе экранирования система будет иметь как раз одно связанное состояние. Удобно, однако, считать заряд параметром, но радиус экранирования зафиксировать. Тогда для малых значений связанных состояний нет; при определенном значении скажем связанное состояние впервые появляется, при большем заряде, скажем появляется второе связанное состояние и т. Все остальные электроны находятся в состояниях, соот-. ветствующих непрерывному спектру, так что электронная плотность в начале координат есть

где

Здесь собственные функции связанных состояний, а — собственная функция делокализованного состояния, нормированная на -функцию от к. Мы можем считать, что последняя записана в полярных координатах. Только -волны дают вклад в интеграл, поскольку другие парциальные волны обращаются в начале координат в нуль.

Рассматривая электронную плотность как функцию мы предполагаем, что при она окажется неаналитической. Это следствие того, что заведомо неаналитична в этой точке, поскольку обращается в нуль при и отлична от нуля при Фактически при плотность ведет себя, как но этот результат нам не понадобится. В любом случае качественно ведет себя, как нижняя кривая на рис. 6.1.

6.1. Предполагаемая плотность электронов в ферми-газе, содержащем экранированный положительный заряд: — вклад от непрерывного спектра, — вклад от первого связанного состояния, штриховая кривая — полная плотность электронов

Потенциал также влияет на вклад от делокализованных состояний, но, вероятно, он должен быть менее чувствителен к изменению и можно ожидать, что это слагаемое регулярно в точке Следовательно, мы предполагаем, что полная плотность, которая до есть просто сумма будет вести себя как верхняя кривая на рис. 6.1, т. е. будет иметь излом при и поэтому в этом месте будет неаналитической. Отсюда немедленно сдедует, что ряд теории возмущений, который есть разложение по степеням потенциала, т. е. по не может сходиться при значениях превышающих Мы увидим, однако, что наше предположение неправильно.

Поучительно взглянуть на эту задачу с противоположной точки зрения. А именно использовать обсуждавшиеся в разделе 6.2 соображения, что матричные элементы потенциала, связывающие занятые состояния, не оказывают влияния на многочастичную волновую функцию, поскольку обращается в нуль результат их действия на записанную в виде детерминанта (6.2.5) волновую функцию. Решая уравнение Шредингера с потенциалом, в который эти матричные элементы включены, мы, следовательно, только затрудняем себя вычислением членов, выпадающих из окончательного ответа.

Это наводит на мысль начать с уравнения Шредингера, где потенциал заменен усеченным потенциалом, который похож на потенциал Бете — Голдстоуна, но связан только с одной частицей, и, следовательно проще. Этот потенциал имеет вид

где — волновая функция свободной частицы С волновым числом нормированная на -функцию от если мы интересуемся воздействием] потенциала только на -волны, можно ограничить собственные функции и тоже только -волнами. Как всегда, — фермиевский волновой вектор.

Усеченный потенциал нелокален, так как для данного в выражение (6.3.4) входят значения волновой функции в других точках Поэтому на практике он для работы неудобен.

Отметим, что этот потенциал заметно слабее, чем исходный экранированный потенциал и для него первое связанное состояние не появится до тех пор, пока не станет существенно больше — заряда, при котором связанное состояние появляется в одноэлектронной задаче с потенциалом Это говорит о том, что ряд теории возмущений для этого усеченного потенциала сходится вне

Вычисление ряда теории возмущений с использованием V выглядит достаточно сложно. Заметим, однако, что этот ряд, член за членом, идентичен ряду теории возмущений для исходного потенциала V. Это действительно так, поскольку теория возмущений сохраняет антисимметрию собственных функций и поэтому на всех стадиях совместима с принципом Паули. Следовательно, вероятности переходов в уже занятые состояния должны равняться нулю и соответствующие им матричные элементы не могут появиться в ответе.

Это рассуждение показывает, что исходное безыскусное разложение теории возмущений в терминах потенциала V будет сходиться вне противореча выводу, к которому мы пришли, обсуждая первый метод. Как мы должны разрешить противоречие между двумя вступившими в конфликт, возможно, не слишком строгими аргументациями? В первом доказательстве

наиболее слабое место — предположение, что регулярно при] Противоречия не будет, если также имеет излом в точке такого знака и величины, чтобы сократился излом Такая ситуация иллюстрируется рис. 6.2.

6.2. То же самое, что и на рис. 6.1, но показаны фактически существующие зависимости

Именно это и происходит. Рассмотрим чисто расходящееся и чисто сходящееся решения радиального уравнения Шредингера для -волн: , которые асимптотически ведут себя как Выраженная через них истинная волновая функция, нормированная на -функцию от к, есть

где обычный фазовый сдвиг -волны. Для того чтобы волновая функция была регулярна в начале координат, собственные функции и должны обращаться в нуль при Это дает соотношение между фазовым сдвигом и «функцией Йоста»

В выражение для плотности электронов в начале координат входит значение которое совпадает со значением производной взятым в начале координат. Применяя соотношения (6.3.5), (6.3.6) и постоянство вронскиана

легко проверить, что

Теперь, используя симметрию по к, можно записать интеграл (6.3.3) в виде

При такой форме записи легко выявить природу зависимости от Хорошо известно, что функция , определенная как решение уравнения Шредингера с правильно заданными граничными условиями, аналитически зависит от параметров уравнения, включая и Отсюда знаменатель подынтегрального выражения — аналитическая функция и неприятности могут возникнуть только из-за нулей или Функция Йоста не может иметь нулей ни при каких действительных к, исключая, может быть, Нули есть при комплексных к. В частности, волновая функция связанного состояния ведет себя, как

Эта функция, если отвлечься от постоянного множителя, совпадает с при

Следовательно, радиальная волновая функция связанного состояния пропорциональна , и поскольку она должна обращаться в нуль в начале координат, функция Йоста имеет нуль в точке Нули в нижней полуплоскости соответствуют резонансам.

Для нет связанного состояния и поэтому нет нуля в верхней полуплоскости. При значениях такой нуль есть, и, так как функция Йоста регулярна, нуль не может появиться из ничего; при он должен пересечь действительную ось, двигаясь из нижней полуплоскости в верхнюю.

6.3. Комплексные полюсы подынтегральной функции в выражений (6.3.9) и форма контура, позволяющая избежать пересечения контуром полюсов

Посмотрев на (6.3.9), мы видим, что при возрастании и переходе через значение полюс пересекает действительную ось, двигаясь вверх, в то время как другой полюс (тот, который связан с ) пересекает ось, двигаясь вниз. Поэтому в этом месте теряет силу доказательство аналитичности Теперь, меняя контур интегрирования при изменении так, чтобы избежать

неприятности с полюсами, можно построить функцию, аналитическую вблизи Это означает, что для любого надо удерживать контур над тем полюсом, который первоначально был ниже действительной оси, и ниже того полюса, который первоначально был над действительной осью. Для этого требуется контур, изображенный на рис. 6.3, на котором полюсы отмечены крестиками, а стрелки указываютнаправление смещения полюсов при возрастании

Интеграл вдоль этого контура равен интегралу вдоль действительной оси к (он и есть плюс вычеты подынтегрального выражения в полюсах. Отсюда следует, что, аналитической функцией является сумма и этих двух вычетов. Вычет в верхнем полюсе равен

при Вычет в другом полюсе равен по модулю и противоположен по знаку этому значению, но поскольку полюс обходится в противоположном направлении, то вклад от него тот же, что и (6.3.12). Оказывается, что удвоенная величина (6.3.12) как раз равна электронной плотности связанного состояния в начале координат.

Действительно, поскольку, согласно (6.3.10), радиальная собственная функция связанного состояния пропорциональна , то при должной нормировке имеем

С другой стороны, рассматривая два бесконечно мало отличающихся значения к в верхней полуплоскости, где обращается в нуль для бесконечно больших из волнового уравнения легко вывести соотношение

в частности, для , поскольку получим

а также из уравнения для вронскиана (6.3.7), поскольку находим

Последние два уравнения устанавливают равенство плотности записанной в виде (6.3.13), сумме двух вычетов. Поэтому сумма которая согласно (6.3.1) как раз есть полная плотность при является аналитической функцией Мы видим, что, действительно, кривые должны вести себя так, как изображено на рис. 6.2.

Вывод, который должен быть сделан из этого удивительного результата, состоит в том, что вопрос, есть связанное состояние электрона внутри фермиевского распределения или его нет, не имеет однозначного ответа, если точно не указан формализм, который мы хотим использовать. В первом методе мы были вынуждены образовывать связанное состояние из одноэлектронных состояний, которые считали занятыми. Во втором методе мы основывались на использовании теории возмущений, начинающей со свободных электронов, где не было и намека на какое-либо связанное состояние.

Возвращаясь теперь к проблеме позитрона, очевидно, можно ожидать, что теория возмущений все же может быть применима. Тот факт, что позитрон такой же легкий, как электрон, приводит к ослаблению притяжения, так что энергия связи одного электрона с позитроном меньше, чем она была бы для тяжелого положительного заряда. То же самое справедливо для эффекта электрон - электронного взаимодействия, которым мы до сих пор пренебрегали. Как конечность массы позитрона, так и взаимодействие электронов друг с другом, исключают, конечно, возможность использования первого метода, и единственным практическим подходом к этой задаче является теория возмущений. Учет электрон - электронного взаимодействия должен быть очень изощренным, поскольку часть этого взаимодействия уже включена в экранирование, наличие которого предполагалось, и необходимо избежать двойного учета.

Обсуждавшиеся здесь удивительные результаты были впервые получены в в диссертации Батлера и опубликованы в его стать . В этой статье

аналитичность полной плотности показана для прямоугольной потенциальной ямы, а общее доказательство, приведенное выше, по-видимому, ново. В статье Батлера исследуются также члены нулевого и первого порядков ряда теории возмущений для прямоугольной потенциальной ямы и показывается, что они являются хорошей аппроксимацией точного ответа для достаточно больших кр. Еще лучше ситуация для экспоненциального потенциала. Эти результаты позволили Батлеру уверенно использовать метод теории возмущений для реальной задачи о позитроне.