4.3. Электронный диамагнетизм

Вопрос о поведении свободных электронов во внешнем магнитном поле давно интересует физиков. Так как орбиты электронов спиралевидны, их проекции на плоскость, перпендикулярно полю, — окружности; можно ожидать, что даже без учета спина электроны могут иметь не равный нулю магнитный момент.

При наивном подходе можно было предположить, что поскольку радиус спроецированной орбиты где — скорость в плоскости, перпендикулярной полю, а — ларморовская частота, т.е.

то орбитальный магнитный момент должен быть равным или

Этот ответ несомненно абсурден. Значение не зависит от заряда электрона и уменьшается при увеличении поля, так что магнитный момент обращается в бесконечность при

Ошибка произошла из-за того, что мы рассуждали с точки зрения замкнутых орбит. Если мы имеем дело с ограниченной областью пространства, то должны рассматривать не орбиты, центры которых расположены внутри этой области, а электроны, которые в данный

момент времени там действительно есть, где бы ни оказались центры их орбит. При когда формула (4.3.2) терпит такой сокрушительный крах, орбиты практически прямолинейны, а их центры очень далеко. Эта ошибка давно была объяснена и исправлена Г. А. Лоренцем, на которого ссылается мисс ван-Левен , а также Нильсом Бором в копенгагенской диссертации 1911 г.

4.2. Двумерное движение электронов в прямоугольном «ящике» в магнитном поле. Движение по каждой внутренней орбите по часовой стрелке создает маленький магнитный момент, движение по пограничной орбите против часовой стрелки создает большой магнитный момент

На рис. 4.2 показана прямоугольная область с рядом круговых орбит. Некоторые из орбит расположены целиком внутри этой области. Некоторые — полностью вне, и ими мы интересоваться не будем. Некоторые пересекают границу; ряд таких орбит показан на рисунке. Можно рассматривать прямоугольник просто как выбранную площадку для подсчета электронов; в этом случае электроны входят и выходят из нее, но их надо учитывать только тогда, когда они находятся внутри, т.е. когда они расположены на тех частях орбит, которые выделены жирными линиями. Или можно рассматривать прямоугольник как ящик с отражающими стенками, тогда жирная линия образует одну орбиту некоего электрона, удерживающегося внутри ящика и отражающегося от стенок. Суммарное распределение тока однои то же, но вести обсуждение удобнее согласно второму способу описания. В этом случае жирная линия формирует одну большую орбиту, которая обходится в направлении против часовой стрелки, если движение по круговым орбитам совершается

по часовой стрелке. Если электроны распределены случайно, то число орбит, пересекающих границу, относительно мало, но электроны движутся вокруг большой замкнутой области, поэтому обязанный им магнитный момент велик. Следовательно, правдоподобно, что они могут компенсировать магнитный момент, создаваемый движением электронов по круговым орбитам, которые не касаются стенок. Это можно проверить, но вычисления достаточно громоздки.

Есть более простое и гораздо более общее доказательство, базирующееся на статистической механике. Мы знаем, что в состоянии статистического равновесия магнитный момент системы есть

где — свободная энергия Гельмгольца. В статистике Больцмана свободная энергия в расчете на один электрон определяется выражением

где, как обычно, гамильтониан. Интеграл берется по всему фазовому пространству. В магнитном поле гамильтониан имеет вид

где — потенциальная энергия, включающая отталкивание от стенок, если таковое имеется, векторный потенциал. Если подставить (4.3.5) в (4.3.4) и заменить переменную интегрирования на

видно, что интеграл не зависит от А и, следовательно, намагниченность, которая определяется с помощью выражения (4.3.3), обращается в нуль.

Причина, по которой такой способ расчета магнитного момента лучше рассмотренного выше, та, что здесь интегрирование статистической суммы (4.3.4) выполняется до дифференцирования по В. Статистическая сумма не слишком чувствительна к наличию границы за исключением того, что граница определяет пределы интегрирования. Если дифференцировать под знаком интеграла и, следовательно, прослеживать изменение каждой орбиты с магнитным полем, то близкие к границе орбиты полностью меняют характер, когда при

изменении радиуса они пересекают границу. Это — причина иллюстрируемой рис. 4.2 чувствительности к наличию границы.

Наш вывод о том, что в классической механике не может быть намагниченности, справедлив также при наличии взаимодействия между частицами; он распространяется и на случай фермиевской или бозевской статистики. Конечно, этот вывод неприменим к таким ситуациям, как рассмотренная Кюри, когда постулируется, что атом имеет внутренний магнитный момент, не делается попыток объяснить его происхождение.

Хорошо известное доказательство, кратко изложенное выше, по существу, классическое, и можно ожидать, что в квантовой механике ответ будет другим. Вначале были сомнения в приложимости квантовой механики к этой задаче, так как провал «наивного» подхода и иллюстрируемая рис. 4.2 ситуация, казалось, указывают на то, что необходимо корректно учитывать граничные условия. При наличии магнитного поля решение уравнения Шредингера для электронов в ящике достаточно сложно.

Поэтому было приятным сюрпризом, когда Ландау показал, что ответ может быть получен совсем просто, не заботясь детально о граничных условиях. В этом нет ничего удивительного, и Ландау не был удивлен, так как он понимал преимущество вычисления свободной энергии с последующим использованием соотношения (4.3.3). Однако многие выражали сомнения насчет нечувствительности этого метода к граничным условиям, и прошло некоторое время, прежде чем результат Ландау получил всеобщее признавие.

Чтобы получить ответ Ландау, рассмотрим сначала движение в плоскости, перпендикулярной магнитному полю. Так как классическое движение просто периодическое и уравнения движения линейны, сразу можно сделать вывод, что собственные значения энергии есть

где — магнетон Бора. На бесконечной плоскости есть бесконечное вырождение, т. е. имеется бесконечно много состояний, принадлежащих каждому собственному значению энергии (4.3.7), в соответствии с тем,

что классическая круговая орбита может быть расположена в плоскости где угодно. Если площадь ограничена, многие состояния будут далеки от границы, и их энергии по-прежнему будут определяться той же формулой (4.3.7). Те, которые локализованы вне границы, не существуют (или благодаря отталкивательному потенциалу стенок имеют очень высокую энергию). Для малой части состояний, локализованных около стенки, энергия несколько отличается от (4.3.7), но с точки зрения статистики эти состояния несущественны. Это именно то место, где срабатывает схема вычисления статистической суммы до дифференцирования по 5, и именно на этом вопросе концентрировали внимание те, кто скептически относился к результату Ландау.

Степень вырождения может быть установлена из условия, что число состояний в интервале энергий, большом по сравнению с расстоянием между уровнями, по-прежнему должно быть тем же, что и в отсутствие магнитного поля. Это приводит к выводу, что без учета спина имеется

состояний с одной и той же энергией в области с площадью, равной А. Этот результат тоже можно проверить, рассматривая двумерное уравнение Шредингера в магнитном поле. (См. оригинальную работу Ландау или книгу Пайерлса).

Прибавляя кинетическую энергию движения в направлении магнитного поля, в случае статистики Больцмана находим выражение для свободной энергии:

Здесь длина ящика в направлении поля. На практике значение обычно гораздо меньше единицы и можно разложить гиперболический синус. Легко видно, что главный член дает статистическую сумму одного свободного электрона в объеме Следующий член добавляет в статистическую сумму множитель

и, следовательно, член в свободную энергию, откуда, согласно (4.3.3), намагниченность в расчете на один электрон есть

Это точно одна треть парамагнитной намагниченности, обусловленной спином электрона.

В металлах электроны обычно образуют вырожденный ферми - газ, последовательно, вместо (4.3.4) надо использовать соответствующее выражение, справедливое в статистике Ферми. Вычисление простое, и опять справедливо утверждение, что диамагнитная восприимчивость, обусловленная электронами, составляет одну треть парамагнитной восприимчивости Паули вырожденного электронного газа. Следовательно, это отношение не зависит от того, вырожден электронный газ или нет. Так как диамагнитный эффект меньше парамагнитного, то можно было бы ожидать, что металлы не могут быть диамагнетиками.

Однако, так как электроны не свободны, а двигаются в периодическом потенциальном поле решетки, их эффективная масса может отличаться от массы свободного электрона, так что уровни энергии, заданные выражением (4.3.7), изменятся. Это действительно так, потому что орбитальное движение в поле определяет именно эффективная масса, тогда как спиновый магнитный момент остается таким же, как у свободного электрона. Теория объясняет, почему например, энергия как функция волнового вектора имеет большую кривизну и, следовательно, эффективная масса электронов мала. Это — причина большой диамагнитной восприимчивости

В этом случае сюрприз заключается в простоте, с которой задача может быть решена, несмотря на ее кажущуюся сложность и чувствительность к граничным условиям.