7.2. Движение центра инерции

Один из аспектов динамики ядра, который очень плохо представлен в приближении оболочечной модели, — поведение его центра инерции. С одной стороны, известно, что в действительности импульс ядра сохраняется и вследствие этого скорость его центра инерции постоянна. С другой стороны, в оболочечной модели заключено допущение, что имеется некоторое поле сил, действующее на все нуклоны и притягивающее их к центру, который, для удобства, выбран за начало координат; центр инерции нуклонов будет осциллировать вблизи этого начала координат. Эти колебания абсолютно фиктивны, однако они есть неизбежный побочный продукт приближения оболочечной модели. Следовательно, в этом отношении волновая функция оболочечной модели содержит ошибку, которая должна быть исправлена заменой точной волновой функции приближенной. Насколько теория возмущений позволяет исправить эту ошибку?

Обсуждая этот вопрос, будем избегать сложностей формализма Брукнера — Бете, используемого для учета сильных короткодействующих корреляций, предполагая, что мы имеем дело с нуклон - нуклонным взаимодействием без сильного отталкивательного кора. Тогда мы имеем право основывать наше приближение оболочечной модели на методе Хартри — Фока и поправлять

это приближение с помощью обычной теории возмущений. Урок, полученный на основании этой упрощенной модели, будет затем применен, несколько утонченным способом, для более реалистичного, но более сложного рассмотрения.

Теперь нашей отправной точкой опять является слэтеровский детерминант, построенный из одночастичных собственных функций для потенциальной ямы . В действительности потенциал Хартри — Фока представляет собой нелокальную потенциальную яму, выраженную в виде интегрального оператора, но все наши последующие построения останутся верны и в этом случае. Для простоты мы не будем выписывать нелокальное выражение.

Здесь разность между истинной потенциальной энергией и той, которая используется для нахождения нашей невозмущенной волновой функции, есть

Двухчастичный потенциал V может быть нелокальным а также может зависеть от спина и от изотопического спина; мы опять, для краткости, опускаем эти переменные. Поскольку известно, что оболочечная модель приемлемо передает спектр ядра, можно ожидать, что ряд теории возмущений по степеням будет сходиться. Корректное использование теории возмущений включает, конечно, правильное обращение с вырожденными состояниями, но для примера мы можем выбрать ядро с заполненной оболочкой, у которого основное состояние невырождено.

Сюрпризом является то, что при всех сделанных оговорках, ряд теории возмущений не сходится. Более того, это утверждение может быть проверено очень легко, без выполнения каких-либо детальных расчетов. Чтобы убедиться в этом, удобно выбрать в качестве переменных вместо координат

А) положение центра инерции

и координаты относительно центра инерции

Координаты не независимы, поскольку их сумма тождественно обращается в нуль в силу определения (7.2.2), и мы, следовательно, можем выбрать из них независимых векторов или такое же число их независимых комбинаций. Для наших целей несущественно, как это делается.

Далее, известно, что точное решение многочастичного уравнения Шредингера может быть записано в виде]

Здесь к — полный импульс в единицах Н, а — символ, обозначающий набор всех независимых векторов 1. Если ряд теории возмущений сходится, он дает некоторое выражение для функции (7.2.4), начинающееся с волновой функции оболочечной модели, которую будем обозначать буквой Ф. Теория возмущений для основного состояния всегда приведет к основному состоянию, так что следует ожидать, что разложение, основанное на функции Ф основного состояния, приведет так как это соответствует наинизшей трансляционной энергии.

7.2. Волновая функция оболочечной модели и точная ядерная волновая функция в зависимости от положения центра инерции при фиксированных значениях внутренних переменных

Сравнивая , обратим внимание на их зависимость от при фиксированных значениях всех Такая зависимость представлена на рис. 7.2, который изображает как функции какой-либо компоненты вектора . С одной стороны, очевидно, что функция Ф должна иметь максимум, поскольку вероятность центру инерции находиться вдали от начала координат очень мала. С другой стороны, Т не зависит от Такое сравнение ясно показывает, что мы переходим от дискретного состояния к границе непрерывного спектра, что невозможно сделать при помощи теории возмущений.

Затруднение можно проиллюстрировать дополнительно, рассмотрев специальный случай, когда потенциальная яма, определяющая вид волновой функции

оболочечной модели, выбирается гармонической:

Сумма может быть представлена как результат сложения двух членов, один из которых зависит от другой — от координат относительно центра инерции (внутренних переменных) Действительно, из (7.2.2) и (7.2.3) в этом случае получаем

Тогда волновая функция основного состояния такой оболочечной модели есть также произведение внутренней волновой функции и гауссовской функции от М. В этом частном случае приближение лучше, чем в общем случае, обсуждавшемся выше. Мы можем вычесть член, связанный с центром инерции, из гамильтониана оболочечной модели (7.2.6), после чего останется потенциал, действующий только на внутренние координаты. Собственные функции для этой задачи могут быть легко построены из собственных функций для потенциала гармонического осциллятора (7.2.5). Мы имеем теперь чисто внутренний потенциал, и разность между ним и истинным двухчастичным взаимодействием есть также функция только от В этой модифицированной модели исчезают наши возражения против разложения в ряд теории возмущений.

Однако такое построение применимо только к гармонической потенциальной яме, а потенциал Хартри — Фока не является таковым. Следовательно, можно использовать гармонический потенциал вида (7.2.5) как пример непосредственной применимости теории возмущений.

Если мы определим наш возмущающий потенциал по исходной формуле (7.2.1), то невозмущенный и точный гамильтонианы разделяются на части, действующие на и части, зависящие от М. Тогда ряд теории возмущений равносилен комбинации разложений по теории возмущений для внутреннего движения и для движения центра инерции. Наше затруднение имеет отношение к последнему. Давайте запишем собственную функцию основного состояния для осциллятора с силовой постоянной . Тогда соответствует невозмущенной задаче с зависящим от

потенциалом в виде (7.2.6), а реальному случаю, в котором не учитывается сила, действующая на центр инерции.

В этой задаче собственная функция основного состояния для массы есть

Теперь видно, что эта функция имеет точку ветвления при т. е. что радиус сходимости для ряда по степеням X равен единице. Ряды могут быть только условно сходящимися при но ясно, что в качестве решений такой ряд практически не может быть использован.

Очевидно, такое же поведение характерно и для общей оболочечной модели, которая не допускает разделения потенциальной энергии типа (7.2.6). Ошеломляет, когда начинаешь ясно понимать, что использование разложения в ряд теории возмущений для внесения поправок в обо очечную модель, которая очень широко используется, по крайней мере для качественных оценок, открыто для столь основательной критики.

Надо, однако, помнить, что на практике в таких разложениях редко удается получить члены выше второго порядка. В этих членах имеется вклад, который должен исключить энергию нулевых колебаний центра инерции, неправильно включенных в обо очечную модель. Этот вклад действует в правильном направлении, хотя и дает неправильные числа. Вносимая за счет этого ошибка в рассчитанные энергетические уровни, без сомнения, меньше, чем так или иначе допускаемая ошибка за счет более высоких членов ряда теории возмущений для внутреннего движения. Следовательно, похоже, что «не имеющее законной силы» разложение дает вполне неплохие сведения о ядерных состояниях и их энергиях. Ошибка становится существенной, если только мы задаем вопросы, касающиеся непосредственно движения центра инерции, когда ряд теории возмущений становится совершенно бесполезным.

Имеется техника, позволяющая обойти эту трудность. Надо к точному потенциалу V добавить фиктивный потенциал центра инерции, который в конце расчета может быть легко исключен (см., например, работу Сандерсона, Эллиотта, Мавроматиса и

Синха). В этом случае теория возмущений применяется для учета переходов из одного дискретного состояния в другое, и теперь нельзя с определенностью утверждать, что разложение вообще не сходится. Необходимо отдельное исследование, чтобы убедиться, является ли это разложение истинно сходящимся и сходится ли оно достаточно быстро, чтобы быть практически полезным.

Альтернативный метод состоит в использовании проекционного метода, чтобы исключить движение центра инерции из состояний оболочечной модели, прежде чем применять теорию возмущений. Поскольку, однако, проекционные состояния не образуют полную ортонормированную систему, надо использовать развитую автором модифицированную форму теории, но пока она редко применяется на практике.