4.4. Эффект де Гааза - ван Альфена

Результат раздела 4.3 основывался на разложений статистической суммы в ряд по малому параметру Если эта величина становится чуть больше, можно включить в рассмотрение члены более высоких порядков, что количественно изменит результат, но не приведет ни к каким новым эффектам. Однако использование такого разложения не позволяет выявить очень интересный эффект, который становится заметным, когда не слишком мало.

Чтобы без сложных вычислений понять природу этого эффекта, вернемся к двумерному случаю и, кроме того, рассмотрим предельный случай нулевой температуры, когда энергия и свободная энергия идентичны. Начнем с ситуации, при которой магнитное поле настолько велико, что степень вырождения, задаваемая формулой (4.3.8), больше числа имеющихся электронов Тогда даже в случае ферми - статистики все электроны находятся в наинизшем состоянии с , и мы получаем

где

Если магнитное поле становится меньше этого» предельного значения, то электронов должны перейти на орбиты с Это делает энергию равной

Тогда намагниченность принимает значение

При изменении В в указанном интервале, магнитный момент меняется от до Путем несложных алгебраических вычислений можно показать, что в интервале значений поля

магнитный момент есть

В пределах интервала, задаваемого неравенством (4.4.5), магнитный момент снова изменяется . Мы обнаружили резкие разрывные осцилляции, точки разрыва которых в переменных эквидистантны.

Конечно, простое вычисление, проведенное выше, нереалистично, и для многих практических выводов надо делать поправку на конечность температуры и наличие третьего измерения. Обе эти поправки приводят к сглаживанию осцилляций, но по-прежнему верно, что осцилляции существуют и что их максимумы и минимумы встречаются через равные интервалы

Для полного расчета надо вычислить свободную энергию ферми - газа

где — энергия Ферми, — плотность состояний. В нашем случае

где — объем, а сумма вычисляется для всех значений при которых квадратный корень веществен. Если в (4.4.8) заменить сумму интегралом, мы вернемся к классическому результату, в соответствии с которым диамагнетизм отсутствует. Чтобы аппроксимировать различие между суммой и интегралом, удобно использовать формулу суммирования Пуассона, которая не столь широко известна, как того заслуживает. Для любой суммы вида

можно написать

где — периодическая функция с периодом 1 и, следовательно, может быть разложена в ряд Фурье:

Теперь можно подставить это выражение в интеграл (4.4.9) для и поменять порядок суммирования и интегрирования. (Пуристы такими действиями будут шокированы, так как и законность фурье - разложения сингулярной функции и изменение порядка операций сомнительны. Однако, как это часто оказывается, когда имеют дело с фурье - преобразованием и дираковской -функцией, в целом ряде случаев можно оправдать результат, полученный после обеих этих сомнительных операций.)

Если полученный результат подставить в (4.4.7), то кроме члена, не зависящего от магнитного поля, и члена, дающего уже обсуждавшийся постоянный диамагнетизм, найдем вклад в свободную энергию, характеризующий эффект де Гааза — ван Альфена:

Для любых разумных значений напряженности поля и температуры, знаменатель с ростом I растет очень быстро, так что обычно существен только первый член Как ожидалось, в числителе этого выражения имеется осциллирующая в зависимости от функция. Ее амплитуда, определяемая знаменателем, экспоненциально убывает, когда отношение становится малым.

Неожиданная особенность этой ситуации состоит в том, что обычная реакция теоретиков на сложную задачу, содержащую малый параметр, а именно разложение в ряд по этому параметру, полностью терпит неудачу. Функция

обладает тем свойством, что для реальных положительных , все ее производные стремятся к нулю при Поэтому попытка построить ряд Тейлора для в окрестности приводит к ряду, все члены которого обращаются в нуль тождественно. Не возникает вопроса о сходимости этого ряда: фактически это наиболее быстро сходящийся ряд из всех

возможных, но он не имеет никакого отношения к функции . В том случае, когда нам «предъявлен» точный вид сразу понятно, что эта функция имеет существенную особенность при но если возникает в сложной физической задаче, это может оказаться неочевидным.

Если в решение задачи входит только функция такого вида, то тот факт, что ее ряд Тейлора тождественно равен нулю, вероятно, наведет на мысль, что здесь имеет место некоторая сингулярность. Однако часто, как и в рассматриваемой задаче, естьтакже другие вклады, которые могут быть разложены. Поэтому в поведении ряда может и не быть ничего странного.

Можно избежать ошибки, начиная с рассмотрения простого предельного случая очень сильных магнитных полей и нулевой температуры (он и был нашей отправной точкой), указывающего на то, что можно ожидать появления осцилляций. Затем ищется способ аппроксимации, при котором эти осциллирующие члены не теряются.

Эта задача представляет собой не только академический интерес, так как в реальных металлах осцилляции позволяют получить значительную информацию о поверхности Ферми в пространстве волновых векторов, но здесь не место обсуждать методы или результаты этого подхода.

Историческая справка. Осцилляторное поведение было отмечено Ландау в его первой работе по диамагнетизму, но он считал, что на практике эти осцилляции ненаблюдаемы. Поэтому открытие осцилляций в де Гаазом и ван Альфеном показалось совершенно таинственным. Затем автор этой книги, пропустив или забыв замечание Ландау, предложил квантование орбиты как источник эффекта и проиллюстрировал это грубыми численными расчетами, которые позднее были продолжены Блэкманом. Использование формулы суммирования Пуассона было предложено Ландау. Более полное изложение вопроса см. в книге Д. Шенберга.