6.2. Теория возмущений в системе многих тел

Во многих важных задачах приходится иметь дело с большим числом одинаковых частиц. Обычно трудно надеяться получить точное решение уравнения Шрё-дингера, и если система, о которой идет речь, имеет сходство с другой системой, для которой известно точное решение, соблазнительно использовать теорию возмущений, чтобы построить интересующее нас решение. В таком случае осторожный теоретик всегда выяснит границы применимости теории возмущений — хотелось бы, чтобы ряд теории возмущений не только сходился, но сходился достаточно быстро, чтобы можно было удовлетвориться несколькими первыми членами, которые обычно мы только и можем надеяться вычислить. Именно здесь можно натолкнуться на сюрпризы.

Чтобы понять специфические особенности этой проблемы, рассмотрим сначала чрезвычайно простую модель, а именно основное состояние невзаимодействующих частиц, которые могут быть одинаковыми бозонами или различными частицами, но с одними и теми же динамическими свойствами. Эти частицы движутся в поле потенциала который мы хотим аппроксимировать сходным потенциалом таким, что

— малое возмущение. Пусть и собственные функции основного состояния с потенциалом и Их разность считается малой и предполагается, что ее можно разложить в ряд по степеням используя обычную теорию возмущений, применимую в задаче об одном теле. Тогда известна также волновая функция основного состояния задачи тел, которая для этих двух случаев есть

Чтобы увидеть, насколько они близки, посчитаем их перекрытие:

Если одночастичные волновые функции нормированы, нормированы также и -частичные функции (6.2.2). В силу неравенства Шварца, последний интеграл в (6.2.3) меньше единицы, но если возмущение мало, он может не быть гораздо меньше единицы. Если обозначить его то последнее выражение в цепочке (6.2.3) становится равным . Это показывает, что для любого данного а, т. е. для любого заданного возмущения волновой функции каждой частицы, перекрытие между исходной и возмущенной собственными функциями уменьшается экспоненциально с ростом Если наша система относится к макроскопическому объекту с это явно гибельно для любых попыток разложения волновой функции в ряд по степеням возмущения, хотя, в принципе, ряд по-прежнему, скорее всего, сходится. Если мы имеем дело с задачей о ядре, где число частиц исчисляется десятками, ситуация не совсем такая отчаянная, но опять-таки серьезная.

Поскольку теория возмущений обычно выводится из формализма, требующего разложения волновой функции в ряд по степеням возмущающего потенциала, ее применимость к простой задаче с большим числом частиц, которую мы рассматривали, не представляется обнадеживающей. Однако многие величины, имеющие практический интерес, получаются явно правильными. Например, в данной задаче энергия есть сумма энергий отдельных частиц. Благодаря тождественности частиц все эти энергии равны, так что полная энергия равна

энергии одной частицы, умноженной на число частиц N. Но тогда ряд теории возмущений для одночастичных значений энергии точно такой же, как если бы других частиц не было, и на его скорость сходимости не влияет число частиц N. Очевидно, то же самое справедливо для ожидаемого значения любого одночастичного оператора или суммы одночастичных членов.

В этой простой модели, не учитывающей взаимодействия, математическое ожидание значения какого-либо двухчастичного оператора может быть выражено через значения математического ожидания одночастичных операторов, так что справедливо то же самое утверждение. Фактически быстрая сходимость ряда теории возмущений (предполагая, что достаточно мало) не имеет места только тогда, когда рассматривают операторы, включающие большое число частиц. Волновая -частичная функция является особым предельным случаем, поскольку она содержит информацию об одновременной вероятности для всех N частиц занимать определенные положения или иметь определенные импульсы.

Мы можем рассмотреть эту ситуацию с помощью примитивного, но эффективного правила, в соответствии с которым отношения следующих друг за другом членов ряда теории возмущений даются величиной типа где — мера возмущающего потенциала, а — масштаб интервалов между невозмущенными энергетическими уровнями. В задаче об N частицах плотность возможных возбужденных уровней гораздо больше, чем в одночастичной задаче, поскольку имеется много способов распределить данное возбуждение между многими частицами, а это предполагает медленную сходимость в случае больших N. В то же время если нет взаимодействия, существование этих виртуальных возбужденных состояний к делу не относится, так что если мы задаем правильные вопросы, то должна существовать возможность избежать связанных с наличием этих состояний последствий.

Все, о чем мы до сих пор говорили, применимо только к специальной модели невзаимодействующих бозонов или различных частиц, которая вряд ли представляет практический интерес. Однако исследование этой модели заставило нас задать вопросы, которые вполне разумны даже при наличии взаимодействия. Нетрудно угадать ответ для этого случая. Будем

считать взаимодействие парным; тогда

хотя трехчастичное взаимодействие и взаимодействия более высоких порядков не портят картину, пока число частиц, появляющееся в членах, описывающих взаимодействие, конечно и достаточно мало. Исходный и возмущенный гамильтонианы могут различаться взаимодействием а так же потенциальным полем включая и тот интересный случай, когда взаимодействие V настолько мало, что его можно целиком рассматривать как возмущение.

Совершенно очевидно: опять следует ожидать, что перекрытие между невозмущенными и возмущенными собственными функциями будет чрезвычайно мало. Это уже нельзя подтвердить просто ссылкой на уравнение (6.2.3), но легко рассмотреть несколько первых членов ряда теории возмущений и увидеть, что, так же как и члены в произведении (6.2.3), они содержат возрастающие степени N. Более сложные доказательства теории многих тел подтверждают эту догадку.

Мы по-прежнему предполагаем, что математическое ожидание значений одно- или двухчастичных операторов (среди них и полная энергия), если их разложить в ряд теории возмущений, будут демонстрировать скорость сходимости, которая не ухудшается для больших N. Опять можно убедиться в правдоподобии этого утверждения, исследуя несколько первых членов ряда теории возмущений и проверяя, что члены с более высокими степенями N сокращаются. В учебниках по теории многих тел показано, как записать весь ряд теории возмущений так, чтобы это сокращение было видно явно в любом приближении. Требуемый для этого формализм известен как разложение по «связанным кластерам» — распространение метода, развитого в классической статистической механике для оправдания приближений используемых при описании почти идеального газа.

Возвращаясь на некоторое время к простой модели невзаимодействующих частиц, заметим, что точное выражение (6.2.2) для собственных функций применимо только к основному состоянию. Для различных частиц собственные функции возбужденных состояний могут быть записаны в сходном виде, за исключением того, что множители содержат теперь разные одночастичные

собственные функции. В случае одинаковых бозонов, однако, следует заменить простое произведение симметризованным произведением одночастичных функций. Одно из следствий симметризации состоит в том, что в каждом из различных одночастичных состояний (из которых состоит симметризованное состояние) меньше частиц, чем тогда, когда все они находятся в основном состоянии или на одной и той же орбите. Это в свою очередь приводит к «бозе-конденсации» идеального бозе-газа, не затрагивая, однако, вопроса о теории возмущений для данной системы.

При наличии взаимодействия симметризация может оказаться очень важной, поскольку благодаря усиливающей амплитуду интерференции она ведет к увеличению вероятности для каких-либо двух частиц оказаться близко друг от друга, а это может сделать взаимодействие более эффективным, чем оно было бы без учета симметризации. Взаимодействие, которое в случае различных частиц было бы достаточно слабым, чтобы обеспечить быструю сходимость ряда теории возмущений для одно- и двухчастичных операторов, в бозонной системе может дать плохую сходимость или привести к расходимости. В частности, представляется вероятным, что теория возмущений потерпит неудачу, когда есть условия для конденсации.

Желание разобраться во всех аспектах систеайы многих бозонов заведет нас слишком далеко, но можно распространить на нее урок, который должен быть извлечен из рассмотрения нашей элементарной модели: необходимо делать различие между применимостью теории возмущений к одно- и двухчастичным величинам и к полной волновой функции.

В случае фермионов волновая функция основного состояния даже в отсутствие взаимодействия — уже не просто произведение, а слэтеровский детерминант:

Если ряд теории возмущений для по функциям быстро сходится, мы, как и раньше, можем быть уверены, что можно построить разложение одно- и двухчастичных величин, но не всегда полной многочастичной собственной функции. Одйако в этом случае наличие большого числа частиц может фактически улучшить ситуацию и сделать возмущение менее существенным Дело в том, что можно представить каждую из точных одночастичных собственных функций в виде линейной комбинации Если к каким-либо первым N собственным функциям добавить любую величину, кратную каким-либо другим N - 1 функциям, то детерминант не изменится. Из-за этого матричные элементы возмущения W, связывающие два занятых состояния, не влияют на собственную функцию основного состояния всей системы, и поэтому можно пренебречь этой частью возмущенного потенциала W.

Приводит ли это в результате к существенному ослаблению возмущения, зависит от его природы. Короткодействующий быстро изменяющийся потенциал обычно имеет матричные элементы, связывающие очень отдаленные состояния, и только небольшая его часть будет связывать низко лежащие одночастичные состояния. Напротив, дальнодействующий медленно изменяющийся потенциал обычно имеет матричные элементы, связывающие близко расположенные соседние состояния, и поэтому будет значительно ослаблен при исключении матричных элементов между заполненными состояниями. В любом случае остающиеся существенными матричные элементы должны связать занятое состояние (т. е. одно из N первых состояний) со свободными. Это приводит к значительному изменению энергии, если только занятое состояние не является одним из наивысших, и ослабляет эффективность таких частей возмущающего потенциала.

Мы приходим к выводу, что для невзаимодействующих фермионов ряд теории возмущений для математического ожидания одно- или двухчастичных величин на самом деле может сходиться быстрее, чем в случае одной или двух частиц. Но с разложением полной многочастичной волновой функции опять дело обстоит значительно хуже. Чтобы оценить, насколько хуже, нужно иметь в виду, что возмущение одночастичных собственных функций наиболее сильно для тех, которые соответствуют самым высоколежащим состояниям, и слабев

для низколежащих состояний. Поэтому добавочные множители, появляющиеся в разложении многочастичной волновой функции, должны быть взяты не с показателем степени, равным полному числу частиц , скорее, с (меньшим) числом частиц в сильно взаимодействующих состояниях.

Мы по-прежнему надеемся, что сходные утверждения остаются в силе для взаимодействующих частиц, и опять наши надежды подтверждаются формальной теорией многих тел. Один из путей формализации состоит в том, чтобы в членах, описывающих взаимодействие между фермионами, опускать матричные элементы между занятыми состояниями. Такой подход приводит к так называемому уравнению Бете — Голд стоуна.

Главные моменты, обсуждавшиеся в этом разделе, включая отмеченные сюрпризы, в основном содержатся в диссертации Дж. Ласку.