8. ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

8.1. Излучение при гиперболическом движении

Наш следующий и последний сюрприз проистекает из старого парадокса. Рассмотрим заряженное тело, подвешенное неподвижно в статическом гравитационном поле. Очевидно, оно окружено электростатическим полем и не возникает вопроса о каком-либо излучении. По принципу эквивалентности, который является основой основ общей теории относительности, эта ситуация эквивалентна равноускоренному телу в плоском (эвклидовом) пространстве. Мы привыкли думать, что равноускоренное заряженное тело излучает. Однако наличие или отсутствие излучения должно быть наблюдаемым фактом и, следовательно, не зависит от системы отсчета. Если в нашем рассуждении нет ошибки, мы имеем дело с нарушением принципа эквивалентности.

Мы будем говорить о первой системе отсчета, в которой имеется гравитационное поле, как о -системе, а о второй, где гравитационное поле отсутствует, как об -системе. В -системе тело неограниченно ускоряется и, следовательно, его скорость не может оставаться малой в сравнении со скоростью света; поэтому необходимо использовать релятивистскую кинематику. Однако, чтобы разобраться в вопросе в общих чертах, начнем с использования нерелятивистских результатов, а затем распространим наше рассмотрение на релятивистский случай.

Нерелятивистское выражение для скорости, с которой маленькое заряженное тело излучает электромагнитную энергию, обычно записывается так:

где заряд, ускорение. Известно, что во всех практических ситуациях это выражение (или его релятивистское обобщение, когда это требуется) дает правильный ответ для полных потерь энергии на излучение. Однако очевидно также, что это не есть правильное выражение для мгновенной скорости потери энергии заряженным телом.

Это видно из выражения для работы, произведенной телом:

где — сила, действующая на тело, в данном случае радиационное трение. Если бы выражение (8.1.1) было правильным для каждого данного момента, можно было бы, по крайней мере в случае прямолинейного движения, получить делением на и, а это означало бы бесконечно большую силу радиационного трения в момент, когда скорость, но не ускорение, обращается в нуль. Вместо этого можно в (8.1.1) выделить полную производную

При интегрировании по временному интервалу второй член дает разность значений в начальный и конечный моменты. Эта разность обращается в нуль для любого периодического движения, если интервал состоит из некоторого числа полных циклов. В случае столкновения, такого, как при испускании рентгеновского излучения, эта разность тоже обращается в нуль, если в начальной и конечной стадиях заряженная частица свободна, так что на концах интервала.

Это типично почти для всех практических задач, в которых интересуются излучением, так что мы не изменим предсказаний для потерь энергии, если заменим (8.1.1) на

Теперь у нас есть абсолютно разумное, согласующееся с (8.1.2) выражение для силы радиационного трения, а именно

Заметим, что в задаче, которая была поводом для нашего парадокса, нельзя пренебречь суммарным действием второго члена в (8.1.3), поскольку для равномерного ускорения ни скорость, ни ускорение не обращаются в нуль на концах интервала. Действительно, новое выражение для потерь энергии никоим образом не эквивалентно старому: (8.1.4) и (8.1.5) обращаются в нуль, если постоянно, и возникает искушение сделать заключение, что в -системе нет излучения, а это восстанавливает справедливость принципа эквивалентности. Такое разрешение парадокса приводило бы к неожиданному выводу о том, что равномерное ускорение не приводит к излучению.

Это рассуждение может быть распространено и на случай релятивистской кинематики. Проще всего это сделать, заметив, что выражение (8.1.5) для силы радиационного трения справедливо в момент времени в такой лоренцевой системе, в которой заряженное тело в этот момент покоится. Применяя преобразование Лоренца к этому выражению, можно найти силу в случае произвольной скорости. Мы сделаем это, предположив, что скорость и ускорение имеют одно и то же направление. Тогда результат таков:

Легко цроверить, что, учитывая обычную формулу для радиационных потерь

имеем

где опять последний член не дает вклада в интеграл по времени, если и или обращаются в нуль на концах интервала интегрирования, а также если движение периодическое.

Легко также проверить, что сила радиационного трения, задаваемая выражением (8.1.6), обращается в нуль для «гиперболического движения», при котором истинное ускорение постоянно:

Идея о том, что такое гиперболическое движение заряженной частицы не приводит к излучению, была впервые выдвинута Паули. Он пришел к этому выводу из рассмотрения электромагнитного поля, но результат, конечно, согласуется с отсутствием силы радиационного трения.

Но нас ожидают дальнейшие сюрпризы. Тщательное исследование Фултона и Рорлиха показало, что излучение есть. Надо проявлять осторожность, определяя, что мы понимаем под излучением, поскольку через большой промежуток времени частица оказывается очень близко от испущенного ею излучения. Фултон и Рорлих вычислили запаздывающий потенциал и с его помощью поля, обусловленные определенной точкой на мировой линии частицы, через большой промежуток времени t. Таким образом, поля рассматривались на сфере радиуса Затем был определен вектор Пойнтинга на этой сфере, а отсюда — поток энергии через сферу. Наконец, брался предел при бесконечном t. Результат этого расчета дал скорость излучения, совпадающую с выражением (8.1.7).

Это возвращает нас к парадоксу, связанному с принципом эквивалентности, и, кроме того, возникает новый аарадокс, поскольку на первый взгляд наличие излучения в отсутствие силы радиационного трения кажется несовместимым с законом сохранения энергии.

Второй из этих двух парадоксов можно разрешить, следуя Фултону и Рорлиху, если Уяснить, что баланс энергии включает энергию излучения, механическую энергию частицы и «собственную энергию», т. е. энергию поля, окружающего частицу. В обычном случае, когда частица движется равномерно как до, так и после испускания излучения, поле вокруг частицы со временем устанавливается опять таким же, как и для равномерно движущегося заряда, и энергия поля зависит только от скорости. Однако при гиперболическом движении, когда частица продолжает ускоряться, поле будет более сложным. В частности, ниоткуда не следует, что оно зависит только от скорости, так как поля всегда получаются из запаздывающего потенциала, а это нарушает симметрию между фазами движения с замедлением и с ускорением. Таким образом, энергия

поля в момент, когда частица уходит со скоростью не должна быть той же самой, как в момент ее прихода со скоростью и эта разница может компенсировать испущенную между этими временами энергию излучения.

Остается парадокс, связанный с принципом эквивалентности. Способ его разрешения найден в замечательной, до сих пор не опубликованной работе Булваре. Чтобы привести его рассуждения, нужно точно определить -систему. Потребуем, чтобы в этой системе частица покоилась и чтобы метрика была не зависящей от времени. (Если гравитационное поле вблизи частицы меняется со временем, то нет ничего удивительного в излучении даже неподвижного заряда.) Это требование однозначно определяет -систему, если не учитывать тривиальную замену координат. Если мы обозначим координаты в этой системе то связь между ними и координатами -системы будет иметь следующий вид:

Теперь частица, выполняющая гиперболическое движение, заданное уравнением (8.1.9) в -системе, неподвижна при Метрика задается соотношением

которое, как и требовалось, не зависит от т.

На рис. 8.1 показаны линии постоянных значений и постоянных значений в плоскости Главное внимание надо обратить на следующее: части пространства - времени, состоящей из всех положительных и всех от до на плоскости соответствует сектор между Подобным образом отрицательные представлены противоположным сектором, но с отрицательными Остальная часть плоскости не достигается ни при каких реальных . Физическая причина этого явления состоит в том, что в -системе гравитационное поле отклоняет свет и при интервале вида (8.1.11) является причиной фокусировки световых лучей и появления «горизонта».

Теперь оказывается, что излучение, которое должно быть испущено по Фултону и Рорлиху, все идет в ту часть плоскости где которая не имеет эквивалента в -системе. Если это правильно, то локально нет нарушения принципа эквивалентности поскольку в той части пространства - времени, которая может быть описана в обеих системах, нет излучения ни при каком описании. Излучение имеется в той части пространства - времени, которая не имеет эквивалента в -системе, и поэтому для нее не возникает и вопроса об эквивалентности.

8.1. Линии постоянных значений пространственной координаты и времени в -системе, изображенные в -системе

Доказательство того, что излучение в самом деле идет в эту часть пространства - времени очень простое Рассмотрим световой сигнал, возникший в момент времени когда заряженное тело было в точке Когда этот сигнал пройдет расстояние в направлении, составляющем угол с осью в момент времени он окажется в точке

поэтому

Первое слагаемое справа — отрицательное, второе — неотрицательное. Однако согласно сказанному выше надо устремить к бесконечности при фиксированных . В этом пределе второе слагаемое доминирует, если исключить интервал углов, близких к который в пределе становится бесконечно узким.

Мы приходим к выводу, что излучение, уходящее на бесконечность в области, допускающей описание в -системе, стремится к нулю.

Можно добавить, что этот парадокс несколько академичен, поскольку в действительности гравитационные поля никогда не простираются до бесконечности, и если поле, которое мы описали, помещено в плоское пространство, полная эквивалентность, а с ней и парадокс исчезают. Именно эта аргументация была использована Фултоном и Рорлихом, чтобы избежать парадокса. Однако в законах общей теории относительности или электродинамики не содержится ничего, что позволило бы исключить обсуждавшуюся нами экстремальную ситуацию, и поэтому приятно, что даже в таком идеализированном случае парадокс может быть разрешен.