9.4. Якобиан канонического преобразования

Якобиан, входящий в каноническое преобразование, выглядит следующим образом:

Рассмотрим строку. Используя формулы преобразования (9.23) для случая С, можно записать элементы этой строки так:

Подставив эти выражения в строку и сложив ее с предыдущими строками, умноженными на

соответственно, приведем якобиан к следующему виду:

Выполнив аналогичную операцию для всех остальных строк от до получим

Согласно правилам вычисления определителей, это выражение представляется произведением

Здесь первый сомножитель является якобианом преобразования при фиксированных а второй — якобианом обратного преобразования. Отсюда следует, что

Таким образом показано, что каноническое преобразование приводит к сохраняющему объем отображению фазового пространства, поскольку, как известно, якобиан определяет отношение объемов при отображении. Непосредственным следствием такого положения дел является тот факт, что интеграл

взятый по некоторой области фазового пространства, является инвариантом, поскольку подынтегральная функция представляет собой соответствующий инвариант. Связь этого результата с теоремой Лиувилля очевидна.