154. Однородные функции.

Дадим определение однородной функции нескольких переменных: функция нескольких переменных называется однородной функцией этих переменных степени , если при умножении этих переменных на произвольную величину t функция умножается на т. е. имеет место тождество

при любых допустимых значениях переменных Число может быть любым фиксированным вещественным числом. Если, например, то и t должны быть положительными. Положим, что функция выражает некоторый объем, что х и у суть длины некоторых линий и что в выражении , кроме этих линий, входят отвлеченные числа. Умножение х и у на t (положительное число) равносильно уменьшению линейного масштаба в t раз или увеличению при ), и, очевидно, что при этом функция выражающая объем, должна умножаться на т. е. в рассматриваемом случае функция будет однородной функцией третьей степени. Так, например, объем конуса выражается через радиус его основания и высоту у по формуле

Эта функция будет однородной третьей степени при всех вещественных х, у и t. Такой же функцией будет и любой однородный многочлен от х и у третьей степени, т. е. такой многочлен, в каждом члене которого сумма показателей и у равна трем:

Дроби

суть однородные функции степеней соответственно 1, 0 и (- 1). Отметим, что где радикал считается арифметическим, будет однородной функцией первой степени при всех вещественных х и у и при всех Действительно,

причем оба радикала считаются положительными.

Дифференцируя тождество (10) по t и применяя правило дифференцирования сложной функции, получим, полагая

Полагая , находим

что выражает следующую теорему Эйлера, об однородных функциях:

Сумма произведений частных производных однородной функции на соответствующие переменные равна произведению самой этой функции на степень ее однородности.

При доказательстве мы считаем естественно, что функция имеет непрерывные частные производные при соответствующих значениях переменных, которыми мы пользовались при доказательстве.

Если то, положив в тождестве получим

т. e. однородная функция нулевой степени есть функция отношения всех переменных, кроме одной, к этой последней переменной. Часто однородную функцию нулевого измерения называют просто однородной.