8.5. Операторный метод

К рассмотренному спектральному методу тесно примыкает широко распространенный операторный метод, базирующийся на представлении входных и выходных сигналов их преобразованиями Лапласа.

Решение дифференциальных уравнений операторным методом.

Преобразование Лапласа является исключительно гибким и мощным методом, позволяющим путем стандартных процедур находить решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Именно это свойство обусловило его широкое использование в научных исследованиях и инженерных расчетах.

Пусть дифференциальное уравнение

устанавливает закон соответствия между сигналами на входе и выходе некоторой линейной стационарной системы. Наложим некоторые ограничения. Сделаем допущение, что входной сигнал при . Кроме того, исходя из специфики работы радиотехнических устройств, начальные условия выберем нулевыми: . Наконец, примем, что область допустимых входных сигналов не содержит в себе функций, столь быстро нарастающих во времени, что для них не существует преобразования Лапласа.

Обозначим закон соответствия между оригиналами и изображениями следующим образом: Вычислив преобразования Лапласа от обеих частей уравнения (8.71), получим

Важнейшей характеристикой, на которой основан операторный метод, является отношение изображений выходного и входного сигналов:

называемое передаточной функцией или операторным коэффициентом передачи рассматриваемой системы.

В соответствии с формулой (8.72)

Если эта функция известна, то поиск выходной реакции системы на заданное входное воздействие разбивается на три этапа:

Термин «операторный метод» исторически восходит к известным работам Хевисайда, который еще в конце прошлого века предложил символический способ решения дифференциальных уравнений, описывающих переходные процессы в линейных электрических цепях. Метод Хевисайда основан на символической замене оператора дифференцирования комплексным числом .

Свойства передаточтой функции.

Сравнивая формулы (8.74) и (8.41), можно убедиться, что функция есть результат аналитического продолжения частотного коэффициента передачи с мнимой оси на всю плоскость комплексных частот Функция аналитична на всей плоскости , за исключением конечного числа точек являющихся корнями знаменателя в формуле (8.74). Данные точки, т. е. корнн уравнения

называют полюсами передаточной функции

Рис. 8.4. Характер поверхности для передаточной функции, имеющей два комплексно-сопряженных полюса и один нуль

Точки представляющие собой корни уравнения

называют нулями данной передаточной функции.

Вынося общий множитель возникающий при делении в (8.74) числителя на знаменатель, получаем так называемое нуль-полюсное представление передаточной функции:

Вещественность коэффициентов дифференциального уравнения (8.72) обусловливает следующее свойство нулей и полюсов: все эти числа либо вещественны, либо образуют комплексно-сопряженные пары.

Часто используют наглядный прием отображения передаточной функции с помощью карты нулей и полюсов, на которой некоторыми условными значками нанесены указанные точки. Саму функцию принимающую комплексные значения, нельзя непосредственно представить графически. Поэтому поступают так: над плоскостью с декартовой системой координат изображают трехмерную поверхность функции (рис. 8.4).

Поверхность имеет характерный вид «горного ландшафта»; бесконечно высокие вершины соответствуют полюсам а впадины — нулям передаточной функции. Выполнив сечение этой поверхности с помощью плоскости, содержащей как вертикальную ось, так и ось получим профиль АЧХ системы.

Полюсы передаточной функции линейной системы являются корнями характеристического уравнения (8.36). Поэтому для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы эти полюсы располагались строго в левой полуплоскости комплексной переменной

Нули передаточной функции в общем случае могут располагаться как в левой, так и в правой полуплоскостях.

Формула обращения.

Заключительным этапом решения задачи о прохождении сигнала через линейную стационарную систему с помощью операторного метода является поиск оригинала, которому отвечает изображение

Рассмотрим частный случай, когда функция представляетсобой отношение даух многочленов по степеням комплексной частоты:

причем будем считать, что степень числителя не превосходит степени знаменателя и, кроме того, корни знаменателя — простые.

Способ нахождения оригинала, отвечающего такому изображению, основывается на представлении функции в виде суммы элементарных дробей:

Коэффициенты С, являются вычетами функции в точках поэтому [14]

Как известно, изображению соответствует оригинал Таким образом, приходим к известной формуле обращения:

Примеры нахождения выходных сигналов операторным методом.

При практическом использовании операторного метода большую часть формальных вычислений можно исключить, обращаясь к широко распространенным таблицам преобразований Лапласа.

Пример 8.17. Найти переходную характеристику RC-цепи.

Здесь поэтому Разлагая эту функцию на элементарные дроби, имеем

Оригиналы, соответствующие обоим слагаемым в правой части последней формулы, хорошо известны (см. [5, 6, 36]).

Искомый результат имеет вид

Пример 8.18. На входе RC-цепи действует прямоугольный видеоимпульс ЭДС с заданными длительностью Т и амплитудой Выходным сигналом служит напряжение на конденсаторе цепи. Найти функцию, описывающую изменение во времени напряжения

Входной сигнал имеет изображение

Множитель свидетельствует о сдвиге во времени на величину Т. Поэтому, используя результат, полученный в примере 8.17, можно записать

Для наглядности последнюю формулу целесообразно представить так:

Если выходной сигнал снимается с резистора, то при тех же параметрах R и С напряжение на резисторе .

Пример 8.19. Импульсная характеристика параллельного колебательного контура.

Параллельный колебательный контур с потерями возбуждается дельта-импульсом тока в неразветвленной части цепи. Выходным сигналом служит напряжение на контуре. Равенство указывает на то, что передаточной функцией в данном случае служит операторное сопротивление контура

где

Формулу (8.77) удобно представить в виде

где — частота собственных колебаний в контуре с потерями.

Изображением дельта-импульса тока служит единица, поэтому импульсная характеристика данной системы — это оригинал, соответствующий изображению (8.78). По таблицам преобразований Лапласа находим

(8.79)

Если контур высокодобротный (а ), то формула (8.79) несколько упрощается:

Необходимо помнить, что формулы (8.79) и (8.80) соответствуют возбуждению контура бесконечно коротким импульсом тока, площадь которого тем не менее составляет

В реальном масштабе - это очень большая величина: прямоугольный импульс длительностью должен иметь гигантскую амплитуду . Неудивительно, что при такой импульс вызовет в начальный момент времени напряжение 109 В. Реальный импульс тока с амплитудой 0.01 А и длительностью имеет площадь ; при начальное напряжение на контуре составит лишь 10 В.

Итак, при напряжение на параллельном контуре, который возбуждается коротким импульсом тока произвольной формы с площадью Пиит имеет вид

(8.81)

Этот ряд примеров можно было бы продолжить и рассмотреть, например, более сложную задачу о иключении в колебательный контур источника гармонической ЭДС. Однако получающиеся при этом точные решения довольно громоздки. Гораздо удобнее использовать приближенный метод анализа нестационарных явлений в колебательных цепях, изложенный в гл. 9.