§ 9. Закон нуля или единицы

Если характеристическая функция а -множества А измерима относительно случайного вектора то А называется измеримым относительно (или

относительно Пусть -любой элемент множества произвольное действительное число. Рассмотрим все -множества вида и будем обозначать наименьшую -алгебру, содержащую все эти множества, через или через Выражение "А измеримо относительно равносильно тому, что А является элементом Это можно также выразить следующим образом: А является множеством вида Для множество

измеримо относительно Если то множество всех , для которых сходится, измеримо относительно

Лемма 1. Пусть А измеримо относительно -Тогда для любого существует множество измеримое относительно конечного числа из случайных величин например, такое, что

Доказательство. Множества А, обладающие указанным выше свойством, образуют -алгебру. При этом множества очевидно, обладают этим свойством; следовательно, все элементы -алгебры обладают этим свойством.

События называются независимыми, если их характеристические функции образуют систему независимых случайных величин.

Лемма 2. Если события (в конечном или счетном числе) независимы, то

Лемма 3. Пусть система независимых случайных векторов. Тогда, если для каждого событие измеримо относительно соответствующего то независимы.

Теорема 1 (колмогоровский закон нуля или единицы). Если случайные величины независимы и событие А при любом измеримо относительно то

Доказательство. Событие А измеримо относительно , поэтому для любого в, взяв достаточно большое можно выбрать событие измеримое относительно и близкое к в смысле (9.1). Так как А измеримо относительно то ввиду независимости события независимы (лемма 3). Поэтому

Из формулы (9.1) получаем

Устремляя к нулю, получаем т. е. или 1.

Применяя теорему 1, легко доказать, что если независимы, то

Теорема 2 (лемма Бореля — Кантелли). Если последовательность событий удовлетворяет условию

то

Если независимы и

то

Доказательство. Если допустить, что выполнено неравенство (9.4), то

Этим доказана первая формула (9.5). Что касается второй формулы, то она сразу же выводится из первой при помощи соотношения

Пусть теперь независимы и выполнено условие (9.6). Тогда имеем

По лемме 2

Так как по формуле (9.6)

то это бесконечное произведение равно нулю, и также равно нулю. Следовательно,