§ 29. Винеровский интеграл, кратный винеровский интеграл

Пусть комплексный винеровский процесс, и пусть

Так как имеет ортогональные приращения, то, согласно сказанному в § 23, можно определить интеграл следующего вида:

В случае, когда комплексный винеровский процесс, этот интеграл называют винерозским интегралом. Далее, в этом случае можно определить интеграл вида

который называют кратным винеровским интегралом. Для этого необходимо предположить непрерывность Опуская подробное доказательство, объясним суть дела на случае :

Прежде всего в случае, когда является характеристической функцией двумерного интервала не имеющего общих точек с прямой положим по определению

Здесь условие отсутствия общих точек с прямой назовем его условием А — является существенным. В случае, когда функция является линейной комбинацией таких характеристических функций — обозначим совокупность таких функций через — определим как такую же линейную комбинацию выражений написанного выше вида. Ясно, что является линейным отображением в Используя условие мы можем получить

В частном случае, когда функция симметрична относительно это неравенство становится равенством, и если обе симметричны, можно получить

При этом, так как в силу непрерывности имеем

то можно продолжить на

При произвольных интеграл можно определить так же. Пусть совокупность образов при отображении . В частности, является одномерным подпространством пространства состоящим из всех констант. В силу условия попарно ортогональные подпространства пространства Далее, обозначим через совокупность всех случайных величин принимающих комплексные значения, измеримых относительно и таких, что можно показать, что является прямой суммой подпространств Следовательно, возможно ортогональное разложение

Функции можно выбрать симметричными относительно каждой из групп переменных , и тогда эти функции однозначно определяются по

Пример 1. Пусть однородный по времени комплексный винеровский процесс. Положим

Тогда гауссовский стационарный процесс. Действительно, так как

то — функция только от и имеет место стационарность. Гауссовский характер очевиден, так как является пределом линейных комбинаций Теперь, если обратное преобразование Фурье от то

Поэтому является производной спектральной функции.

Пример 2. Применяя таким же образом, как выше, кратный винеровский интеграл, например полагая

можно получить стационарный в сильном смысле процесс; однако, за исключением случая, когда этот процесс не является гауссовским. Применяя кратные винеровские интегралы более высоких порядков и рассматривая также их пределы, мы можем получать стационарные в сильном смысле процессы. Однако остается открытым интересный вопрос о том, можно ли получить таким способом произвольный стационарный в сильном смысле процесс.