§ 27. Комплексные гауссовские системы

Будем говорить, что является действительной гауссовской системой, если распределение случайного вектора является нормальным распределением на Винеровский процесс и (действительные) гауссовские стационарные процессы являются действительными гауссовскими системами. Определение, которое мы привели, эквивалентно следующему. Для любых

В частном случае, когда среднее значение равно нулю, это соотношение можно переписать в виде

Обобщая это свойство, будем называть систему комплексных случайных величин комплексной гауссовской системой, если для

(Re - действительная часть, черта обозначает комплексно сопряженное). В частности,

Обозначим в этом выражении действительную и мнимую части случайной величины через и пусть тогда

Поэтому случайные величины независимы, и распределение каждой из них — одно и то же одномерное гауссовское распределение

Теорема 1. Пусть система комплексных случайных величин и пусть Тогда функция

положительно определена, т. е.

Обратно, функция положительно определена, то существует комплексная гауссовская система такая, выполнено (27.2).

Доказательство. Первое утверждение вытекает из неравенства

Докажем второе утверждение. Положим и определим в (действительное) нормальное распределение следующим образом. Ранее мы обозначали через совокупность точек из все координаты которых, за исключением конечного числа, равны нулю; в соответствии с эгтим обозначим через совокупность точек из обладающих тем же свойством. Положим для

Формально здесь написана бесконечная сумма, но так как она в действительности конечна; поэтому вопрос о сходимости не возникает. Для того чтобы доказать, что является характеристической функцией некоторого нормального распределения на достаточно заметить, что сумма рассматриваемая как функция от является неотрицательно определенной действительной квадратичной формой. Это вытекает из положительной определенности Действительно, из предположения о положительной определенности вытекает, поэтому является действительной квадратичной - формой

от То, что она является неотрицательно определенной, ясно из (27.3). Возьмем ( за основное вероятностное пространство; обозначим через координату а) (комплексное число); тогда для будем иметь

Подставляя вместо, получим

Продифференцируем это равенство два раза по и положим

Следовательно, имеем

и

Замечание. Полученное нами попутно равенство заслуживает внимания само по себе. Из формулы

видно, что это равенство эквивалентно условиям

т. е. эквивалентно требованию, чтобы гауссовская система состояла из независимых одинаково распределенных случайных величин.

Теорема 2. Если случайные величины образуют комплексную гауссовскую систему и взаимно ортогональны, то они независимы.

Доказательство. Используя ортогональность, получаем

Из этого вытекает, что распределение случайного вектора является прямым произведением распределений отдельных

Теорема 3. Если величины образуют комплексную гауссовскую систему, означает мнимую часть), образуют действительную гауссовскую систему.

Это сразу же становится ясным, если в (27.1) положить или

Далее, из определения комплексной гауссовской системы легко вывести следующие теоремы.

Теорема 4. Пусть — две действительные гауссовские системы, и пусть они взаимно независимы и имеют одно и то же распределение; тогда — комплексная гауссовская система.

Теорема 5. Пусть комплексная гауссовская система, и пусть каждая из величин является линейной комбинацией комплексными коэффициентами или их пределом по норме; тогда у — также гауссовская система.

Пример. Комплексный винеровский процесс. Если является комплексной гауссовской системой и имеет ортогональные приращения:

то называют комплексным винеровским процессом. В этом случае при величины

по теореме 5 образуют комплексную гауссовскую систему, причем они попарно ортогональны, а поэтому по теореме 2 независимы.

Следовательно, комплексный процесс с независимыми приращениями. Распределение инвариантно относи тельно вращений вокруг начала координат на комплексной плоскости.

Так как при то имеем

Поэтому равенством

определяется однозначно с точностью до аддитивной константы неубывающая функция . В частном случае, когда непрерывна справа, процесс также непрерывен справа по норме. Обратно, покажем, что для любой неубывающей функции существует комплексный винеровский процесс, такой, что

Обозначим через А совокупность отрезков действительной оси Положим по определению для

Функция положительно определена. Действительно, обозначая через характеристическую функцию а, имеем

(интеграл понимаете в смысле Римана — Стильтьеса). Поэтому существует комплексная гауссовская система такая, что

Если , то

откуда

Следовательно, выражение

не зависит (за исключением -множества вероятности нуль) от выбора а, и является искомым комплексным винеровским процессом.

В частном случае, когда получаем однородный по времени процесс, который Винер называет броуновская движением.