§ 15. Сепарабельный винеровский процесс

Определение и существование сепарабельного винеровского процесса не нуждаются в объяснении.

Теорема 1. Выборочная функция сепарабельного винеровского процесса с вероятностью 1 непрерывна.

Доказательство. Пусть вине ровский процесс; 5 — счетное множество, о котором говорится в определении сепарабельности, т. е. такое множество, что вероятность события

равна 1. Из определения нормального распределения легко вывести, что

Так как для случайные величины

независимы, то по теореме Оттавиани

Далее, пусть в выбрано счетное число точек расположим в порядке возрастания и применим полученный выше результат. Затем устремим к бесконечности; получим

Следовательно,

и по сепарабельности имеем

Теперь, если то разобьем на равных отрезков при этом получим

Если то лежат либо на одном и том же, либо на соседних отрезках отсюда

Так как это -множество уменьшается с возрастанием то

Устремляя к нулю, получаем утверждение теоремы.

В случае положим

непрерывно при

непрерывно при

тогда Из сказанного выше вытекает, что поэтому

Так же, как в случае пуассоновского процесса, можно определить винеровский процесс в широком смысле как стохастически непрерывный процесс с независимыми приращениями, такой, что распределение вероятностного процесса является нормальным распределением. Если распределение или, что то же, есть то распределением является

Из предположения стохастической непрерывности вытекает, что непрерывны. Разумеется, является неубывающей функцией. Вероятно, нет необходимости останавливаться на доказательстве существования винеровского процесса в широком смысле и сепарабельного винеровского процесса в широком смысле.

Теорема 1. Утверждение теоремы 1 верно и для винеровского процесса в широком смысле.

Имеет место также обратная теорема.

Теорема 2. Если дан стохастически непрерывный процесс с независимыми приращениями, выборочная функция которого непрерывна с вероятностью 1, то это сепарабельный винеровский процесс в широком смысле.

Доказательство. Пусть рассматриваемый процесс с независимыми приращениями. Сепарабельность, очевидно, вытекает из предположения о непрерывности выборочных функций. Следовательно, достаточно доказать, что распределение является нормальным. Учитывая, что непрерывная функция является равномерно непрерывной в конечном отрезке, получаем, что для любого существует такое что если Далее, пусть выберем так, чтобы

Разобьем на равных частей:

Положим или 0 в зависимости от того, выполняется ли неравенство или нет; Так как

то, учитывая независимость получим

(I) Положим

Если конечны), то из получаем

Следовательно, распределение — нормальное.

(II) Случай, когда подпоследовательности стремятся к конечным значениям, ничем не отличается от случая (I).

(III) В случае, когда последовательность или ее подпоследовательность сходится к конечному значению рассуждая, как в случае (I), получим, что распределение или некоторая подпоследовательность таких распределений стремится к Но распределение у стремится к распределению у, поэтому последовательность или ее подпоследовательность стремится к конечному значению и этот случай сводится к случаю (II).

(IV) Если то, так как для любого можно определить так, чтобы

Согласно

Полагая получаем чего не может быть. Поэтому случай (IV) невозможен.