§ 28. Гауссовские стационарные процессы

Если комплексная гауссовская система является стационарным в слабом смысле процессом, то ее называют комплексным гауссовским стационарным в слабом смысле процессом. Теореме 2 § 22 соответствует

Теорема 1. Комплексный гауссовский стационарный в слабом смысле процесс является стационарным в сильном смысле.

Доказательство. Пусть комплексный гауссовский стационарный в слабом смысле процесс. Тогда и для любых

Следовательно, распределение совпадает с распределением и стационарен в сильном смысле.

Согласно этой теореме, можно говорить о комплексном гауссовском стационарном процессе. Так как мы в основном рассматриваем стационарные процессы с комплексными значениями, то можно называть его еще короче, просто гауссовским стационарным процессом.

Ранее было показано (теорема Хинчина), что имеет место спектральное разложение функции но мы не касались обратного вопроса о том, существует ли для функции имеющей такое разложение, стационарный процесс такой, что Оказывается, что такой процесс существует, и существует даже гауссовский стационарный процесс, удовлетворяющий этому условию.

Теорема 2. Если

где ограниченная непрерывная справа неубывающая функция, то существует гауссовский стационарный процесс такой, что

Доказательство. Так как для любых

то существование сразу вытекает из теоремы 1 предыдущего параграфа.

Рассмотрим теперь колмогоровское спектральное разложение процесса

Так как принадлежит гильбертову пространству натянутому на то по теореме 5 предыдущего параграфа является также комплексной гауссовской системой При этом, так как имеет ортогональные приращения, то это — комплексный винеровский процесс. Используя хинчиновскую спектральную функцию

мы можем написать

Процесс неоднороден. В силу теоремы 2 § 25, из сказанного вытекает следующая теорема:

Теорема 3. Гауссовский стационарный процесс является преобразованием Фурье от производной (в смысле обобщенных функций) комплексного винеровского процесса.