§ 30. Эргодические свойства гауссовских стационарных процессов

Прежде всего дадим определение сильного перемешивания и эргодичности стационарного в сильном смысле процесса Пусть случайная величина, измеримая относительно как нетрудно

проверить, можно выбрать последовательность бэровских функций от комплексных переменных и последовательность так, чтобы

В силу стационарности в сильном смысле

из этого легко вывести, что последовательность

сходится по вероятности к некоторой случайной величине . С вероятностью 1 эта случайная величина определяется только по и не зависит от выбора последовательности в (30.1). Положим Очевидно, что

Если для всех то случайную величину называют инвариантной. Величина наверняка является инвариантной; если нет инвариантных величин, кроме таких, то говорят, что процесс обладает эргодичностью. Пусть дана инвариантная величина рассмотрим величину полученную обрезанием величины

эта величина также инвариантна. Если не является константой, то, выбирая достаточно большое мы можем добиться того, что также не будет константой. Поэтому, если не существует ограниченных инвариантных величин, то можно утверждать, что имеет место эргодичность. Далее, если для любых измеримых относительно и имеющих конечную норму,

то говорят, что процесс обладает сильным перемешиванием. Сильное перемешивание является более сильным условием, чем эргодичность. Действительно, если то из наличия сильного перемешивания следует, что

поэтому

После этих предварительных замечаний докажем следующие теоремы:

Теорема Маруяма). Для того чтобы гауссовский стационарный процесс обладал эргодичностью, необходимо и достаточно, чтобы спектральная функция была непрерывна.

Теорема 2. Для того чтобы гауссовский стационарный процесс обладал сильным перемешиванием, необходимо и достаточно, чтобы

Рассмотрим гауссовский стационарный процесс

Пусть имеет скачок при . Предположим, что

колмогоровское спектральное разложение процесса и пусть д. обозначают то же, что в доказательстве теоремы о спектральном разложении. Тогда также имеет скачок при и этот скачок удовлетворяет соотношению . Так как преобразование является расширением , то Согласно определению имеем поэтому Следовательно, случайная величина инвариантна. При этом распределение является нормальным распределением на комплексной плоскости, инвариантным относительно поворотов, но не -распределением, так как

Поэтому также не является константой. Этим доказана та часть теоремы 1, которая касается необходимости. Теперь

докажем достаточность. Предположим, что ограниченная инвариантная случайная величина. Так как совокупность случайных величин, измеримых относительно совпадает с совокупностью величин, измеримых относительно то величина измерима относительно Кроме того, поэтому на основании результатов предыдущего параграфа мы можем написать

Выберем функции симметричными относительно каждой из групп Чтобы найти достаточно найти для Но

(это — символическая запись; точные выражения несколько громоздки, и, по-видимому, смысл достаточно ясен и отсюда). Поэтому

Так как подинтегральная функция также симметрична относительно то из следует, что

Поэтому всюду, за исключением гиперплоскости Но так как в силу непрерывности

то (почти наверное). Отсюда вытекает, что

Теперь перейдем к доказательству теоремы 2. Если имеет место сильное перемешивание, то

Далее, предположим, что Из этого сразу ясно, что функция должна быть непрерывной. Запишем величины конечные по норме и измеримые относительно в виде (30.3); используя ортогональность о которой говорилось в предыдущем параграфе, получим

Теперь, так как имеем

Приблизим линейными комбинациями характеристических функций отрезков; тогда получим, что каждый член в сумме в (30.5) стремится к нулю. Поэтому в случае, когда разложения обрываются после конечного числа членов, получаем

То же можно доказать и для произвольных приближая их по норме. При этом нужно принять во внимание, что

Пример. Так как для гауссовского процесса стационарного в сильном смысле, то существует выборочное среднее значение:

Очевидно, что поэтому, если функция непрерывна, то по теореме константа. Следовательно,

Эта формула позволяет находить по выборочной функции. То же можно сказать и относительно