§ 20. Сложный пуассоновский процесс

Рассмотрим однородный по времени процесс с независимыми приращениями изменяющийся только скачками. Ясно, что

Мера в этом случае удовлетворяет условиям

С вероятностью 1 за конечное время происходит конечное число скачков, ббльших некоторого положительного числа по абсолютной величине, но скачков, величина которых близка к нулю, вообще говоря, бесконечное число. Однако сумма величин скачков абсолютно сходится с вероятностью 1; поэтому можно определить как сумму величин скачков. Если выполнено несколько более сильное условие, чем (20.2), а именно

то с вероятностью 1 за конечное время происходит конечное число скачков. Такой процесс с независимыми приращениями называют сложным пуассоновским процессом.

Равенство

задает распределение вероятностей на числовой оси. Перепишем формулу (20.1) в виде

Из этой формулы ясно, что (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) вероятность того, что за время произойдет скачок, равна

вероятность же того, что величина этого скачка находится в равна Поэтому можно рассматривать как распределение величины скачка.

Если теперь число скачков происходящих в то есть пуассоновский процесс и

При этом имеют одни и те же моменты скачков. Величина скачков всегда равна 1, а величины скачков подчинены распределению

Преобразуя формулу для получим

Следовательна, распределение случайной величины задается формулой

Отсюда видно, что сложный пуассоновский процесс можно построить следующим образом. Пусть

—независимые случайные величины;

Определив формулой

получим сложный пуассоновский процесс. Здесь промежутки времени между скачками; — величины скачков.

В качестве примера сложного пуассоновского процесса можно привести общую сумму ущерба, причиненного происшествиями по вине водителей такси. Общее число происшествий, как уже говорилось выше, образует пуассоновский процесс. Предположим, что этот процесс однородный. Если распределение ущерба, причиняемого одним происшествием, то распределение общей суммы ущерба задается формулой