§ 24. Спектральное разложение стационарных в слабом смысле процессов

Пусть — стационарный процесс в слабом смысле,

За исключением неинтересного особого случая, когда имеем вместо можно рассмотреть поэтому с самого начала без потери общности можно предполагать, что

Далее, можно рассматривать как кривую в гильбертовом пространстве Так как при этом по

то эта кривая лежит в подпространстве являющемся ортогональным дополнением к в , а также на единичной сфере в Величина является косинусом угла, образованного двумя векторами в Эту величину называют коэффициентом корреляции

Предположим добавочно непрерывность по норме:

Вероятно, из примера пуассоновского процесса из предыдущей главы ясно, что отсюда не вытекает непрерывность выборочных функций. Однако, так как

то из непрерывности по норме следует стохастическая непрерывность.

Теорема 1 (А. Хинчин). Имеет место спектральное разложение функции

Здесь ограниченная непрерывная справа неубывающая функция, определяемая по

называют спектральной функцией для

Доказательство. По определению имеем

Далее, согласно (22.2),

Поэтому определяется по теореме Бохнера.

Теорема 2 (А. Колмогоров). Имеет место спектральное разложение процесса

Здесь имеет ортогональные приращения и

При этом определяется по

Доказательство. Пусть А — пространство, состоящее из линейных комбинаций случайных величин обозначим А через является подпространством пространства Определим группу преобразований в пространстве А равенством

Чтобы установить корректность этого определения, достаточно показать, что

Но это ясно из следующего соотношения:

Кроме того, эта формула показывает, что является изометричным отображением А на А. Следовательно, можно продолжить до изометричного отображения на

При этом, так как в А, то это свойство имеет место и в Так как непрерывно по норме относительно при то, пользуясь изометричностью, получаем, что непрерывно также и для Поэтому по теореме Стоуна можно написать спектральное разложение а из него получить

Из определения спектрального разложения легко вывести, что имеет ортогональные приращения, и равенство

определяет ограниченную неубывающую непрерывную справа функцию При этом легко также вывести, что

Сравнивая эту формулу с (24.3), получаем поэтому имеет место равенство (24.5).

Далее, покажем, что, если в формуле (22.4) выбрано двумя способами, то Если -преобразование Фурье от то

Если функция непрерывна и ее носитель ограничен, то можно приблизить при помощи таких ; поэтому

Обозначим теперь через характеристическую функцию тогда, если для определить такую функцию описанного выше вида, что

то

Таким же образом получаем, что

Поэтому

Устремляя в к нулю, получаем

Таким образом, теорема 2 доказана.

Пример. Рассмотрим случай, когда функция чисто разрывна и записывается в виде

Здесь — произвольная последовательность действительных чисел, -последовательность положительных чисел, . В этом случае функция

является почти-периодической. Далее, если мы рассмотрим разложение то получим

где взаимно ортогональны и Действительно можно положить