Главная > Вероятностные процессы. Выпуск I
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 24. Спектральное разложение стационарных в слабом смысле процессов

Пусть стационарный процесс в слабом смысле,

За исключением неинтересного особого случая, когда имеем вместо можно рассмотреть поэтому с самого начала без потери общности можно предполагать, что

Далее, можно рассматривать как кривую в гильбертовом пространстве Так как при этом по

то эта кривая лежит в подпространстве являющемся ортогональным дополнением к в , а также на единичной сфере в Величина является косинусом угла, образованного двумя векторами в Эту величину называют коэффициентом корреляции

Предположим добавочно непрерывность по норме:

Вероятно, из примера пуассоновского процесса из предыдущей главы ясно, что отсюда не вытекает непрерывность выборочных функций. Однако, так как

то из непрерывности по норме следует стохастическая непрерывность.

Теорема 1 (А. Хинчин). Имеет место спектральное разложение функции

Здесь ограниченная непрерывная справа неубывающая функция, определяемая по

называют спектральной функцией для

Доказательство. По определению имеем

Далее, согласно (22.2),

Поэтому определяется по теореме Бохнера.

Теорема 2 (А. Колмогоров). Имеет место спектральное разложение процесса

Здесь имеет ортогональные приращения и

При этом определяется по

Доказательство. Пусть А — пространство, состоящее из линейных комбинаций случайных величин обозначим А через является подпространством пространства Определим группу преобразований в пространстве А равенством

Чтобы установить корректность этого определения, достаточно показать, что

Но это ясно из следующего соотношения:

Кроме того, эта формула показывает, что является изометричным отображением А на А. Следовательно, можно продолжить до изометричного отображения на

При этом, так как в А, то это свойство имеет место и в Так как непрерывно по норме относительно при то, пользуясь изометричностью, получаем, что непрерывно также и для Поэтому по теореме Стоуна можно написать спектральное разложение а из него получить

Из определения спектрального разложения легко вывести, что имеет ортогональные приращения, и равенство

определяет ограниченную неубывающую непрерывную справа функцию При этом легко также вывести, что

Сравнивая эту формулу с (24.3), получаем поэтому имеет место равенство (24.5).

Далее, покажем, что, если в формуле (22.4) выбрано двумя способами, то Если -преобразование Фурье от то

Если функция непрерывна и ее носитель ограничен, то можно приблизить при помощи таких ; поэтому

Обозначим теперь через характеристическую функцию тогда, если для определить такую функцию описанного выше вида, что

то

Таким же образом получаем, что

Поэтому

Устремляя в к нулю, получаем

Таким образом, теорема 2 доказана.

Пример. Рассмотрим случай, когда функция чисто разрывна и записывается в виде

Здесь — произвольная последовательность действительных чисел, -последовательность положительных чисел, . В этом случае функция

является почти-периодической. Далее, если мы рассмотрим разложение то получим

где взаимно ортогональны и Действительно можно положить

1
Оглавление
email@scask.ru