§ 8. Неравенства для сумм независимых случайных величин

Теорема 1 (неравенство Колмогорова). Если независимы и

то

Доказательство. Положим

и обозначим через характеристическую функцию множества Функция измерима относительно Из определения вытекает, что попарно не пересекаются, и левая часть в формуле (8.2) равна

Из равенства получаем

и так как правая часть этого равенства не меньше

Далее,

По определению первыйчлен справа Случайные величины измеримы соответственно относительно поэтому эти случайные величины независимы, причем

Следовательно, второй член равен нулю. Третий член Поэтому рассматриваемое нами выражение и

Левая часть вследствие независимости равна Подводя итог всему сказанному, получаем (8.2).

Теорема 2 (неравенство Оттавиани). Если независимы и

то

Доказательство. Положим

Множества попарно не пересекаются, и -множество слева в формуле (8.4) равно Так как из

вытекает

то, обозначая -множество справа в формуле (8.4) через С, получим

определяется условием вида условием вида поэтому, учитывая, что независимы, имеем

Так как, согласно (8.3), то мы получаем

Следовательно,

откуда